Equazione irrazionale: verifica risultato

[et@bet@]

Ciao a tutti, ho tentato di risolvere questa:

`sqrt(x^2+3x-6)=2x-6`

elevando entrambi i membri e togliendo la radice sono arrivato a:

`x^2+3x-6=4x^2-24x+36`

procedendo sonoa rrivato a:

`-3x^2+27x-42=0`

poi ho fatto un operazione di cui non sono molto convinto (ho diviso tutto per 3)

`-x^2+9x-14=0`

ho applicato la formula risolutiva e dho trovato:

x= +2 ed x=+7

ma ho un dubbio: sono queste le soluzioni ? se sostituisco all'equazione originale ad es. +2
non mi viene 0 .

[laura.todisco]

L'unica soluzione è x=7, appunto perchè x=2 non verifica l'equazione iniziale, ma solo quella elevata al quadrato che non è esattamente equivalente a quella data.
Per risolvere queste equazioni ci sono 2 vie:
una è quella da te seguita, elevare tutto al quadrato ma alla fine eseguire la verifica a mano;
la seconda è di studiare prima le condizioni di realtà della radice risolvendo il sistema formato da due disequazioni, la prima in cui poni il radicando non negativo e la seconda in cui poni il 2° membro non negativo; ottieni un intervallo nel quale dovranno stare le tue soluzioni.

In questo esercizio il sistema avrebbe dato come soluzione $x>=3$, pertanto $x=2$ non è soluzione.

[laura.todisco]

L'operazione della quale non sei convinto, cioè l'aver diviso tutta l'eq. per 3, è perfettamente lecita, dato che hai a disposizione il secondo principio di equivalenza delle equazioni:
"moltiplicando o dividendo ambo i membri di una eq. per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una eq. equivalente a quella data".