EQUAZIONE IPERBOLE

[Mii_]

Determina l'equazione dell' iperbole avente fuoco S(0;- radice quadrata di 5)e passante per P ( 1;radice quadrata di 2 )

[bimbozza]

l'equazione generica dell'iperbole cercata è

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/math]

.
Dalla coordinata del fuoco si ricava:

[math]\sqrt{5}= \sqrt{a^2+b^2}[/math]

.
Imponiamo il passaggio per P sostituendo nell'equazione generica le sue coordinate

[math]\frac{1^2}{a^2}-\frac{\sqrt{2}^2}{b^2}=-1[/math]

.

mettiamo in sistema le due equazioni trovate:

[math]\left{
\frac{1}{a^2}-\frac{2}{b^2}=-1\\
5=a^2+b^2\\
[/math]

[math]\left{
\frac{1}{5-b^2}-\frac{2}{b^2}=-1\\
a^2=5-b^2\\
[/math]

[math]\left{
\frac{b^2-10+2b^2-5b^2+b^4}{b^2(5-b^2)}=0\\
a^2=5-b^2\\
[/math]

[math]\left{
\frac{-10+8b^2-b^4}{b^2(5-b^2)}=0\\
a^2=5-b^2\\
[/math]

la prima equazione ha due soluzioni cioè

[math]b^2=4 \pm \sqrt6[/math]

quindi abbiamo 2 iperboli:
per

[math]b^2= 4+ \sqrt{6}[/math]

abbiamo

[math]a^2=1- \sqrt{6}[/math]

per

[math]b^2= 4- \sqrt{6}[/math]

abbiamo

[math]a^2=1+ \sqrt{6}[/math]