Equazione goniometrica, scritture equivalenti
$tan(2x + pi/5)=tan(5x+ pi/3)$
risolvendo l'equazione goniometrica ho ottenuto le soluzioni:
$x = - 2/45 pi - 1/3 k pi$
il testo scrive le soluzioni come:
$x = 43/45 pi + k pi/3$
per dimostrare l'equivalenza delle due scritture, visto che la periodicità è la stessa, prendo $k=-3$ e la prima scrittura riproduce la soluzione $x=43/45 pi$.
c'è un altro modo per dimostrare l'equivalenza delle due scritture?
oppure, come fare per finire i calcoli direttamente con le soluzioni del libro di testo?
risolvendo l'equazione goniometrica ho ottenuto le soluzioni:
$x = - 2/45 pi - 1/3 k pi$
il testo scrive le soluzioni come:
$x = 43/45 pi + k pi/3$
per dimostrare l'equivalenza delle due scritture, visto che la periodicità è la stessa, prendo $k=-3$ e la prima scrittura riproduce la soluzione $x=43/45 pi$.
c'è un altro modo per dimostrare l'equivalenza delle due scritture?
oppure, come fare per finire i calcoli direttamente con le soluzioni del libro di testo?
Risposte
Non mi sembrano equivalenti...
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"sellacollesella":
Posto \(k \in \mathbb{Z}\), dato che: \[
-\frac{2}{45}\pi-\frac{h}{3}\pi=\frac{43}{45}\pi+\frac{k}{3}\pi \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad h = -k-3
\] allora anche \(h \in \mathbb{Z}\) e questo implica che le soluzioni sono equivalenti.
ok, grazie
e per ottenere direttamente le soluzioni del testo come dovrei fare?
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quindi il libro trova le soluzioni nel modo più "naturale" e poi comincia dalla prima positiva, credo faccia così
@sellacollesella
Fammi capire: per me equivalenti significa che sono equivalenti per OGNI $k$ non per uno in particolare.
Fammi capire: per me equivalenti significa che sono equivalenti per OGNI $k$ non per uno in particolare.
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"sellacollesella":
Essendo \(k\in\mathbb{Z}\), in entrambi i casi si ottengono tutte le soluzioni dell'equazione, quindi non sono equivalenti? Non so, sinceramente, magari ne faccio un uso improprio del termine, ma mi pareva si capisse, o forse no.
P.S.: poco più di dieci anni fa, stessa equazione, stesso dubbio, ... incredibile!
non si capisce perchè il libro cominci da $k=-3$; se è una questione di segno, la prima positiva la si ottiene per $k=-1$ per cui si ha $x = 13/45 pi$
@sellacollesella
Premesso che ero più lucido 10 anni fa (d'altronde...), quello che intendevo dire è che se sostituisci, per esempio, $k=1$ in entrambe non ottieni lo stesso angolo quindi in quel senso non sono equivalenti.
Premesso che ero più lucido 10 anni fa (d'altronde...), quello che intendevo dire è che se sostituisci, per esempio, $k=1$ in entrambe non ottieni lo stesso angolo quindi in quel senso non sono equivalenti.
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"sellacollesella":
Sì, mi è chiaro cosa intendessi, Alex. Comunque non volevo certo dire che eri meno lucido, ...
No, no quello me lo dico da solo
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