Equazione goniometrica impossibile
Vorrei costruire un'equazione goniometrica impossibile del tipo $\tan f(x)=\tan f'(x)$. Con quale tecnica scegliere le espressioni $f(x)$ e $f'(x)$ in modo da costruire equazioni impossibili.
Risposte
Cosa intendi con "impossibili"? Senza soluzioni?
si
"apatriarca":
Cosa intendi con "impossibili"? Senza soluzioni?
Ad esempio se considero l'equazione $\tan\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\tan(x+\pi)$.
Questa è un'equazione goniometrica impossibile ma costruita "con sentimento"
La condizione di cui hai bisogno è
\[ \forall x, \forall k, f(x) \neq f'(x) \pm k\pi \]
\[ \forall x, \forall k, f(x) \neq f'(x) \pm k\pi \]
L'equazione $\tan\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\tan(x+\pi)$ ammette come soluzioni $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ che non sono accettabili e dunque l'equazione è impossibile.
Non è vero che $2x-\frac{\pi}{2}\ne x\pm k\pi$ $\forall x, \forall k$ in quanto:
$2x-\frac{\pi}{2}=x\pm k\pi$ per $x=\frac{\pi}{2}$ e $k=0$.
Sono d'accordo con la tua impostazione in alto, però perchè mettere $\pm?$ Poi non vedo perchè contrasta con la mia condizione. Dove mi perdo qualcosa che pur essendo impossibile sono riuscito a trovare $x$ e $k$!!!!!
Non è vero che $2x-\frac{\pi}{2}\ne x\pm k\pi$ $\forall x, \forall k$ in quanto:
$2x-\frac{\pi}{2}=x\pm k\pi$ per $x=\frac{\pi}{2}$ e $k=0$.
Sono d'accordo con la tua impostazione in alto, però perchè mettere $\pm?$ Poi non vedo perchè contrasta con la mia condizione. Dove mi perdo qualcosa che pur essendo impossibile sono riuscito a trovare $x$ e $k$!!!!!
Qualcuno che cortesemente continua la questione aperta per tentare di arrivare ad una conclusione, forse insieme ce la possiamo fare.
Sono un po' confuso. Tu hai detto di star cercando equazioni del tipo \(\tan f(x) = \tan f'(x)\) per le quali non esistono soluzioni. Ma nel tuo esempio
\[ \frac{d}{dx} 2x - \frac{\pi}{2} = 2 \neq x + \pi. \]
Ho frainteso la tua richiesta e stai in realtà considerando due funzioni qualsiasi e non una funzione e la sua derivata?
Per quanto riguarda le tue equazioni hai
\[
\begin{gather*}
2x - \frac{\pi}{2} \neq x + (k + 1)\,\pi \\
x \neq \left(k + \frac{1}{2}\right) \pi
\end{gather*}
\]
A prima vista sembra in effetti che la condizione non sia verificata, tuttavia è necessario rimuovere i casi in cui la tangente non sia definita (cioè quando almeno una delle due tangenti è uguale a \(\pm \infty\)). Queste si verificano quando \(2x + \pi/2 = (k + 1/2) \pi\) o \(x + \pi = (k + 1/2) \pi\). Cioè quando \(x = k\pi/2\) o \(x = (k + 1/2) \pi\). Insomma, la parte a destra e sinistra della tua equazioni vanno entrambe all'infinito con \(x = (k + 1/2) \pi\), ma in questo valore non sono ben definite.
Il \(\pm\) non è in effetti necessario se \(k\) è preso come numero intero e non come numero naturale. Bisogna poi in effetti aggiungere la condizione di esistenza delle equazioni.
\[ \frac{d}{dx} 2x - \frac{\pi}{2} = 2 \neq x + \pi. \]
Ho frainteso la tua richiesta e stai in realtà considerando due funzioni qualsiasi e non una funzione e la sua derivata?
Per quanto riguarda le tue equazioni hai
\[
\begin{gather*}
2x - \frac{\pi}{2} \neq x + (k + 1)\,\pi \\
x \neq \left(k + \frac{1}{2}\right) \pi
\end{gather*}
\]
A prima vista sembra in effetti che la condizione non sia verificata, tuttavia è necessario rimuovere i casi in cui la tangente non sia definita (cioè quando almeno una delle due tangenti è uguale a \(\pm \infty\)). Queste si verificano quando \(2x + \pi/2 = (k + 1/2) \pi\) o \(x + \pi = (k + 1/2) \pi\). Cioè quando \(x = k\pi/2\) o \(x = (k + 1/2) \pi\). Insomma, la parte a destra e sinistra della tua equazioni vanno entrambe all'infinito con \(x = (k + 1/2) \pi\), ma in questo valore non sono ben definite.
Il \(\pm\) non è in effetti necessario se \(k\) è preso come numero intero e non come numero naturale. Bisogna poi in effetti aggiungere la condizione di esistenza delle equazioni.
apatriarca:
Ho frainteso la tua richiesta e stai in realtà considerando due funzioni qualsiasi e non una funzione e la sua derivata?
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Voglio considerare equazioni del tipo $\tan f(x)=\tan g(x)$. Non c'entra nulla la derivata, mi dispiace se ho utilizzato un simbolo da creare equivoco. Come scegliere $f(x)$ e $g(x)$ per avere equazioni impossibili
Il discorso è in realtà lo stesso. Devi semplicemente negare quelle che sono le condizioni per una soluzione valida. Esiste una soluzione \(x\) valida alla tua equazione se tutte le seguenti condizioni sono verificate:
\[
\begin{gather*}
\tan f(x) \neq \pm \infty \implies \forall\, k_1 \in \mathbb Z.\, f(x) \neq \left(k_1 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\tan g(x) \neq \pm \infty \implies \forall\, k_2 \in \mathbb Z.\, g(x) \neq \left(k_2 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\tan f(x) = \tan g(x) \implies \exists\, k_3 \in \mathbb Z.\, f(x) = g(x) + k_3 \pi
\end{gather*}
\]
In altre parole almeno una delle seguenti condizioni deve essere rispettata per ogni \(x \in \mathbb R\):
\[
\begin{gather}
\exists\, k_1 \in \mathbb Z.\, f(x) = \left(k_1 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\exists\, k_2 \in \mathbb Z.\, g(x) = \left(k_2 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\forall\, k_3 \in \mathbb Z.\, f(x) \neq g(x) + k_3 \pi
\end{gather}
\]
Nel tuo esempio esistono delle \(x \in \mathbb R\) per cui la \(3\) non è vera, ma queste soluzioni non sono valide perché le condizioni \(1\) e \(2\) sono verificate per quegli stessi valori. In effetti, se la \(3\) non è verificata e almeno una tra \(1\) e \(2\) è verificata, lo deve essere anche l'altra.
Esistono tantissime coppie di funzioni che verificano queste condizioni. Per esempio, per ogni funzione \(F(x)\) possiamo scegliere \(f(x) = F(x)\) e \(g(x) = F(x) + 1\). Siccome la differenza tra queste due funzioni è sempre \(1\), la tangente dei due valori non sarà mai uguale. Un esempio puoi trovarlo qui per un polinomio di secondo grado. Se ci limitiamo a polinomi di primo grado come nel tuo esempio, abbiamo sempre dei valori per cui la condizione \(3\) non è vera. A questo punto è quindi necessario fissare i coefficienti in modo che le altre due condizioni sono vere per quegli specifici valori di \(x\). Per esempio, sia \(f(x) = 3x + 7 \pi.\) Vogliamo trovare delle condizioni per cui \(g(x) = 2x + C\) non abbia soluzioni. Calcolando la differenza troviamo che le due funzioni hanno differenza uguale a \(k_3 \pi\) quando \(x = (k_3 - 7) \pi + C\). Sostituendo in \(g(x)\) troviamo \(2(k_3 - 7)\pi + 3C\). Siccome vogliamo che \(g(x)\) sia uguale a \((k_2 + 1/2)\pi\) ci basta prendere \(C = \pi / 6 + h \pi / 3\) per un qualche \(h \in \mathbb Z\). Per esempio possiamo scegliere \(h = 1\) e prendere \(C = \pi/2\). Ecco l'esempio.
\[
\begin{gather*}
\tan f(x) \neq \pm \infty \implies \forall\, k_1 \in \mathbb Z.\, f(x) \neq \left(k_1 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\tan g(x) \neq \pm \infty \implies \forall\, k_2 \in \mathbb Z.\, g(x) \neq \left(k_2 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\tan f(x) = \tan g(x) \implies \exists\, k_3 \in \mathbb Z.\, f(x) = g(x) + k_3 \pi
\end{gather*}
\]
In altre parole almeno una delle seguenti condizioni deve essere rispettata per ogni \(x \in \mathbb R\):
\[
\begin{gather}
\exists\, k_1 \in \mathbb Z.\, f(x) = \left(k_1 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\exists\, k_2 \in \mathbb Z.\, g(x) = \left(k_2 + \frac{1}{2}\right) \pi \\
\forall\, k_3 \in \mathbb Z.\, f(x) \neq g(x) + k_3 \pi
\end{gather}
\]
Nel tuo esempio esistono delle \(x \in \mathbb R\) per cui la \(3\) non è vera, ma queste soluzioni non sono valide perché le condizioni \(1\) e \(2\) sono verificate per quegli stessi valori. In effetti, se la \(3\) non è verificata e almeno una tra \(1\) e \(2\) è verificata, lo deve essere anche l'altra.
Esistono tantissime coppie di funzioni che verificano queste condizioni. Per esempio, per ogni funzione \(F(x)\) possiamo scegliere \(f(x) = F(x)\) e \(g(x) = F(x) + 1\). Siccome la differenza tra queste due funzioni è sempre \(1\), la tangente dei due valori non sarà mai uguale. Un esempio puoi trovarlo qui per un polinomio di secondo grado. Se ci limitiamo a polinomi di primo grado come nel tuo esempio, abbiamo sempre dei valori per cui la condizione \(3\) non è vera. A questo punto è quindi necessario fissare i coefficienti in modo che le altre due condizioni sono vere per quegli specifici valori di \(x\). Per esempio, sia \(f(x) = 3x + 7 \pi.\) Vogliamo trovare delle condizioni per cui \(g(x) = 2x + C\) non abbia soluzioni. Calcolando la differenza troviamo che le due funzioni hanno differenza uguale a \(k_3 \pi\) quando \(x = (k_3 - 7) \pi + C\). Sostituendo in \(g(x)\) troviamo \(2(k_3 - 7)\pi + 3C\). Siccome vogliamo che \(g(x)\) sia uguale a \((k_2 + 1/2)\pi\) ci basta prendere \(C = \pi / 6 + h \pi / 3\) per un qualche \(h \in \mathbb Z\). Per esempio possiamo scegliere \(h = 1\) e prendere \(C = \pi/2\). Ecco l'esempio.
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