Equazione goniometrica; dubbio sul metodo del confronto
Salve a tutti, vorrei la vostra opinione su una equazione che "non riesco" a risolvere, o alternativamente vorrei che mi diceste dov'è l'errore (sicuramente banale) che commetto nel mio procedimento.
L'equazione è semplicissima: $cos (x) - sin (x) =1$.
Premetto che l'ho già risolta mettendola a sistema con la circonferenza goniometrica e i risultati corrispondono a quelli del libro, però con il metodo dell'arco aggiunto ottengo strani risultati.
Per trasformare l'equazione nella forma $r*sin (x+\alpha)$ ricavo $r=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(2)$ ed $\alpha = arctan (b/a) = arctan(-1)$.
A questo punto la mia perplessità, e credo che l'errore sia nel prossimo passaggio: di angoli $\alpha:tan (\alpha)=-1$ ci sono, tra gli altri infiniti, $3/4\pi$ e $-\pi/4$.
Adesso se io riscrivo l'equazione come $sin (x+3/4\pi)=sqrt(2)/2$ arrivo alle soluzioni $x+3/4\pi=\pi/4 vvv x+3/4\pi=3/4\pi => x=-pi/2 vvv x=0 (mod 2\pi)$, e queste sono le soluzioni corrette; se alternativamente scrivo $sin (x-\pi/4)=sqrt(2)/2$ ottengo $x-\pi/4=\pi/4 vvv x-\pi/4=3/4\pi => x=pi/2 vvv x=\pi (mod 2\pi)$ che non sono soluzioni corrette.
Adesso lascio a voi la sentenza: dove sto sbagliando?
L'equazione è semplicissima: $cos (x) - sin (x) =1$.
Premetto che l'ho già risolta mettendola a sistema con la circonferenza goniometrica e i risultati corrispondono a quelli del libro, però con il metodo dell'arco aggiunto ottengo strani risultati.
Per trasformare l'equazione nella forma $r*sin (x+\alpha)$ ricavo $r=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(2)$ ed $\alpha = arctan (b/a) = arctan(-1)$.
A questo punto la mia perplessità, e credo che l'errore sia nel prossimo passaggio: di angoli $\alpha:tan (\alpha)=-1$ ci sono, tra gli altri infiniti, $3/4\pi$ e $-\pi/4$.
Adesso se io riscrivo l'equazione come $sin (x+3/4\pi)=sqrt(2)/2$ arrivo alle soluzioni $x+3/4\pi=\pi/4 vvv x+3/4\pi=3/4\pi => x=-pi/2 vvv x=0 (mod 2\pi)$, e queste sono le soluzioni corrette; se alternativamente scrivo $sin (x-\pi/4)=sqrt(2)/2$ ottengo $x-\pi/4=\pi/4 vvv x-\pi/4=3/4\pi => x=pi/2 vvv x=\pi (mod 2\pi)$ che non sono soluzioni corrette.
Adesso lascio a voi la sentenza: dove sto sbagliando?
Risposte
da dove ricavi $sin(x- \pi/4)$ ?
secondo me hai fatto un po di confusione tra i valori di $\alpha$ e l'angolo aggiunto.
prova a moltiplicare $cosx - sinx=1$ per $sqrt(2)/2$ e poi guarda bene
secondo me hai fatto un po di confusione tra i valori di $\alpha$ e l'angolo aggiunto.
prova a moltiplicare $cosx - sinx=1$ per $sqrt(2)/2$ e poi guarda bene
Hai pasticciato con i segni
Data $cos (x) - sin (x) =1$ per trasformarla in $sin (x+\alpha)=k$ per prima cosa cambio i segni in modo da ottenere $sin (x)- cos (x) =- 1$ da cui
posto $alpha=arctg(-1)$
ottieni $sin (x)+tg(alpha)cos (x) =- 1$ da cui $sin (x)cos (alpha) +sin (alpha) cos (x) =- cos (alpha)$
con $alpha=-pi/4$ viene $sin (x-pi/4) =-sqrt2/2$ da cui la soluzione $x-pi/4=-pi/4+2kpi vv x-pi/4=-3/4 pi +2kpi$ cioè $x=0+2kpi vv x=-pi/2+2kpi$.
con $alpha=3/4pi$ viene $sin (x+3/4pi) =+sqrt2/2$ da cui la soluzione $x+3/4pi=pi/4+2kpi vv x+3/4pi=3/4 pi +2kpi$ cioè $x=0+2kpi vv x=-pi/2+2kpi$.
Data $cos (x) - sin (x) =1$ per trasformarla in $sin (x+\alpha)=k$ per prima cosa cambio i segni in modo da ottenere $sin (x)- cos (x) =- 1$ da cui
posto $alpha=arctg(-1)$
ottieni $sin (x)+tg(alpha)cos (x) =- 1$ da cui $sin (x)cos (alpha) +sin (alpha) cos (x) =- cos (alpha)$
con $alpha=-pi/4$ viene $sin (x-pi/4) =-sqrt2/2$ da cui la soluzione $x-pi/4=-pi/4+2kpi vv x-pi/4=-3/4 pi +2kpi$ cioè $x=0+2kpi vv x=-pi/2+2kpi$.
con $alpha=3/4pi$ viene $sin (x+3/4pi) =+sqrt2/2$ da cui la soluzione $x+3/4pi=pi/4+2kpi vv x+3/4pi=3/4 pi +2kpi$ cioè $x=0+2kpi vv x=-pi/2+2kpi$.
@blackbishop13:
$sin (x-pi/4)$ lo ottengo sostituendo $alpha=-pi/4$ nella forma base $sin (x+alpha)$. Era questa la tua domanda?
inoltre se moltiplico la equazione per $sqrt(2)/2$ ottengo $sqrt(2)/2*cos(x)-sqrt(2)/2-sin(x)=sqrt(2)/2$ che dovrebbe essere $cos(x)*sin(-pi/4)-sin(x)*cos(-pi/4)$. L'errore è qui? Dovrebbe esserci prima $sin(x)*cos(-pi/4)$? In questo caso credo che ricontrollando i segni andrebbero a posto..
@amelia:
sembra che tu abbia evidenziato il mio errore (di cui sopra, e che non correggo per motivi di cronologia
), anche se non ho capito uno dei passaggi che hai fatto, ma probabilmente è solo un altro modo di fare la stessa cosa.
Grazie ad entrambi dell'aiuto comunque!
$sin (x-pi/4)$ lo ottengo sostituendo $alpha=-pi/4$ nella forma base $sin (x+alpha)$. Era questa la tua domanda?
inoltre se moltiplico la equazione per $sqrt(2)/2$ ottengo $sqrt(2)/2*cos(x)-sqrt(2)/2-sin(x)=sqrt(2)/2$ che dovrebbe essere $cos(x)*sin(-pi/4)-sin(x)*cos(-pi/4)$. L'errore è qui? Dovrebbe esserci prima $sin(x)*cos(-pi/4)$? In questo caso credo che ricontrollando i segni andrebbero a posto..
@amelia:
sembra che tu abbia evidenziato il mio errore (di cui sopra, e che non correggo per motivi di cronologia
), anche se non ho capito uno dei passaggi che hai fatto, ma probabilmente è solo un altro modo di fare la stessa cosa.Grazie ad entrambi dell'aiuto comunque!
"Raptorista":
se moltiplico la equazione per $sqrt(2)/2$ ottengo $sqrt(2)/2*cos(x)-sqrt(2)/2-sin(x)=sqrt(2)/2$ che dovrebbe essere $cos(x)*sin(-pi/4)-sin(x)*cos(-pi/4)$. L'errore è qui?
sì. infatti $sin(-\pi/4)=-sqrt(2)/2$ se sostituisci giusto ottieni $cos(x)sin(\pi/4) - sin(x)cos(\pi/4)= sqrt(2)/2$ equivalente a
$sin(\pi/4-x)=sqrt(2)/2$ oppure a $cos(x+\pi/4)=sqrt(2)/2$
le cui soluzioni sono quelle cercate.
Un consiglio in generale è quello di non applicare formule "a memoria" se possibile ragiona sempre.
Ok farò tesoro del tuo consiglio 
Comunque la cosa che mi aveva lasciato di stucco è che con tutti gli altri esercizi mi era venuto il metodo dell'arco aggiunto.. Bah XD
Comunque la cosa che mi aveva lasciato di stucco è che con tutti gli altri esercizi mi era venuto il metodo dell'arco aggiunto.. Bah XD
Scusate, ma non sarebbe stato più semplice iniziare trascurando i segni? Ottenevate $\alpha=arctan(1)=\pi/4$, poi dividevate l'equazione per r e usavate la formula di sottrazione anzichè quella di somma.
"giammaria":
Scusate, ma non sarebbe stato più semplice iniziare trascurando i segni? Ottenevate $\alpha=arctan(1)=\pi/4$, poi dividevate l'equazione per r e usavate la formula di sottrazione anzichè quella di somma.
L'avevo pensato anch'io, ma ho voluto utilizzare gli stessi angoli di Raptodista.
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