Equazione goniometrica con formule di sottrazione

[Max9900]

Dovrei risolvere la seguente equazione ma mi trovo bloccato:

$sin(x)+cos(x)+sin(60-x)+cos(60-x)=(sqrt(3)+2)/sqrt(2)$

Ho svolto i calcoli e mi trovo in questa situazione:

$sin(x)+3cos(x)+sqrt(3)cos(x)+sqrt(3)sin(x)=(sqrt(3)+2)*sqrt(2)$

Ho provato a risolverla ponendo $sin(x)=y$ e $cos(x)=x$ e mettendola a sistema con l'equazione $x^2+y^2=1$ ma i calcoli risultano troppo complessi. Qualche alternativa?

[@melia]

$sin(x)+3cos(x)+sqrt(3)cos(x)+sqrt(3)sin(x)=(sqrt(3)+2)*sqrt(2)$

$(1+sqrt(3))sin(x)+(3+sqrt(3))cos(x)=(sqrt(3)+2)*sqrt(2)$ dividendo tutto per $1+sqrt(3)$ ottieni

$sin(x)+sqrt(3)cos(x)=sqrt(2)/2$ che puoi risolvere con il metodo da te indicato, (c'è un problema con i calcoli, ma senza poter scrivere su un foglio a parte non riesco ad individuarlo)

oppure puoi usare la prostaferesi nel testo

$ sin(x)+sin(60-x)+cos(60-x)+cos(x)=(sqrt(3)+2)/sqrt(2) $

$2 sin ((x+60-x)/2)cos((x+60+x)/2) + 2cos ((x+60-x)/2)cos((x+60+x)/2) =(sqrt(3)+2)/sqrt(2) $

$cos(x+30) + sqrt3cos(x+30) = (1+sqrt3)^2/(2sqrt2)$

$cos(x+30) =(sqrt2+sqrt6)/4$ ...

[sandroroma]

Sviluppando le formule di addizione e sottrazione si ottiene l'equazione:
$\sqrt3/2\cosx+1/2\sinx= \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
che si può anche scrivere come segue:
$\cosx\cos30°+\sinx\sin30°= \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
Ovvero:
$\cos(x-30°)=\cos(15°)$
Pertanto risulta:
$x-30°=k*360°\pm15°$
che poi si spezza nelle 2 soluzioni:
$(1) x=k*360°+15°$
$(2) x=k*360°+45°$

[Max9900]

Come hai fatto a sviluppare l'equazione in quel modo? Non mi é chiaro come sei passato dall'equazione iniziale che ho scritto io alla prima che hai scritto tu.