Equazione Goniometrica

[davicos]

Salve a tutti,
circa questo esercizio: $ cosxcotx+sqrt3cosx=0 $ ho svolto così:

$ cos^2x/sinx+sqrt3cosx=0rarr cos^2x+sqrt3cosxsinx=0 rarrcosx(cosx+sqrt3sin x)=0 $

Per concludere: $ cosx=0rarrx=pi/2+kpi $ ;

divido per $cosx$: $ 1+sqrt3tanx=0rarrtanx=-sqrt3/3rarrx=5/6pi+2kpi $

Poi mi è venuto in mente di provare a svolgere l'esercizio dividendo subito tutto per il $cosx$ ed il risultato è stato: $ cotx=-sqrt3rarrx=5/6pi+2kpi $
ma non è corretto perchè mi sono perso una soluzione e mi piacerebbe sapere il perchè. Com'è stata distorta l'equazione?
Grazie!

[.Ruben.17]

Puoi dividere per una quantità se hai la certezza che essa è diversa da 0
In caso contrario si usa l'annullamento del prodotto

[davicos]

Grazie!

[anto_zoolander]

Detto in parole povere, se dividi per una quantità, deve certamente essere non nulla.
Se sostituisci $pi/2$ nell'equazione vedi che ti torna $0=0$ dunque è una soluzione dell'equazione.
Se dividi per $cosx$ stai assumendo che sia $xnepi/2$, dunque perdi quella soluzione.

Ad esempio se hai $x^2-x=0$ puoi dividere per $x$ a patto supponendo prima che sia $xne0$ perché di fatti per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio di grado $n$ ha $n$ soluzioni su $CC$.

$x-1=>x=1$ l'altra soluzione l'hai proprio cancellata.

In questi casi si usa solo l'annullamento del prodotto.

$x^2-x=0=>x(x-1)=0=> x=0veex=1$