Equazione Esponenziale, aiuto nel trovare l'errore e capire dove sbaglio
Buon giorno a tutti
premesso che rispetto a molti frequentatori di questo forum sono un vecchietto
(viewtopic.php?f=17&t=176659&p=8288679#p8288679), e che mi sto ristudiando (per piacere di farlo) il programma del liceo a quasi 50 anni di età (Sono arrivato al programma di 4°) mi sono bloccato su questa equazione esponenziale.
non capisco dove sbaglio e come correggere.
P.s.
il testo che sto seguendo è:
http://www.lorenzopantieri.net/Libri_files/Quarta.pdf
l'esercizio su cui ho problemi è il n: 112 a pag. 113
il capitolo su cui vertono gli esercizi sono gli esponenti e i logaritmi.
mi date una mano ?
l'equazione è la seguente:
$ 8*2^(x-1) -2^(x+1) = 16 $
io sto procedendo così:
$ 2^3*2^(x-1)-2^(x+1)-16=0 $
$ 2^(3+x-1)-2^(x+1)-16=0 $
$ 2^(x+2)-2^(x+1)-16=0 $
$ log2^(x+2)-log2^(x+1)-log16=0 $
$ (x+2)*log2-(x+1)*log2-log16=0 $
$ x*log2+2*log2-x*Log2-log2-log16=0 $
a questo punto ho
$ x*log2$ e $-x*Log2$ che di fatto mi annullano la x
cosa sbaglio ?
premesso che rispetto a molti frequentatori di questo forum sono un vecchietto
(viewtopic.php?f=17&t=176659&p=8288679#p8288679), e che mi sto ristudiando (per piacere di farlo) il programma del liceo a quasi 50 anni di età (Sono arrivato al programma di 4°) mi sono bloccato su questa equazione esponenziale.non capisco dove sbaglio e come correggere.
P.s.
il testo che sto seguendo è:
http://www.lorenzopantieri.net/Libri_files/Quarta.pdf
l'esercizio su cui ho problemi è il n: 112 a pag. 113
il capitolo su cui vertono gli esercizi sono gli esponenti e i logaritmi.
mi date una mano ?
l'equazione è la seguente:
$ 8*2^(x-1) -2^(x+1) = 16 $
io sto procedendo così:
$ 2^3*2^(x-1)-2^(x+1)-16=0 $
$ 2^(3+x-1)-2^(x+1)-16=0 $
$ 2^(x+2)-2^(x+1)-16=0 $
$ log2^(x+2)-log2^(x+1)-log16=0 $
$ (x+2)*log2-(x+1)*log2-log16=0 $
$ x*log2+2*log2-x*Log2-log2-log16=0 $
a questo punto ho
$ x*log2$ e $-x*Log2$ che di fatto mi annullano la x
cosa sbaglio ?
Risposte
Beh, l'errore è nel passaggio ai logaritmi (ed è abbastanza grave ...)
Comunque ti sei complicato la vita inutilmente ...
$8*2^(x-1)-2^(x+1)=16\ ->\ 8/2*2^x-2*2^x=16\ ->\ 2*2^x=16\ ->\ 2^x=8$ e lascio concludere a te ...
Comunque ti sei complicato la vita inutilmente ...
$8*2^(x-1)-2^(x+1)=16\ ->\ 8/2*2^x-2*2^x=16\ ->\ 2*2^x=16\ ->\ 2^x=8$ e lascio concludere a te ...
ok, così ha senso.
il testo che stavo seguendo, però, non parlava di scomporre parti come $2^(x-1)$ in $2^x*2^-1$
diceva solo che se arrivo a una forma $a^(f(x))=a^(g(x))$ potevo procedere a calcolare $f(x) = g(x)$
se le basi sono diverse, o più di due $a^(f(x)) + a^(g(x)) + b^(h(x)) + c^(i(x)) $ ad esempio, devo convertirli
in logaritmi ($a^(f(x)) $ diventa $log a^(f(x)) $ )
ed è quello che cercavo di fare io
ora provo a fare anche quello successivo con cui avevo lo stesso problema
P.s.
ma quindi usare i logaritmi era sbagliato ?
il testo che stavo seguendo, però, non parlava di scomporre parti come $2^(x-1)$ in $2^x*2^-1$
diceva solo che se arrivo a una forma $a^(f(x))=a^(g(x))$ potevo procedere a calcolare $f(x) = g(x)$
se le basi sono diverse, o più di due $a^(f(x)) + a^(g(x)) + b^(h(x)) + c^(i(x)) $ ad esempio, devo convertirli
in logaritmi ($a^(f(x)) $ diventa $log a^(f(x)) $ )
ed è quello che cercavo di fare io
ora provo a fare anche quello successivo con cui avevo lo stesso problema
P.s.
ma quindi usare i logaritmi era sbagliato ?
Se due potenze aventi la stessa base sono uguali allora anche gli esponenti sono uguali; da ciò discende che se due logaritmi con la stessa base (ovvero due esponenti da dare a quella base) sono uguali lo saranno anche i loro argomenti;
in simboli $log_a x = log_a y\ =>\ x=y$
Quindi questo
da cosa discenderebbe? Dove lo hai letto? Credo che tu abbia confuso qualche altro teorema ...
Cordialmente, Alex
in simboli $log_a x = log_a y\ =>\ x=y$
Quindi questo
"webmasterone":è corretto ma questo
... se arrivo a una forma $ a^(f(x))=a^(g(x)) $ potevo procedere a calcolare $ f(x) = g(x) $
"webmasterone":
... se le basi sono diverse, o più di due $ a^(f(x)) + a^(g(x)) + b^(h(x)) + c^(i(x)) $ ad esempio, devo convertirli in logaritmi ($ a^(f(x)) $ diventa $ log a^(f(x)) $ )
da cosa discenderebbe? Dove lo hai letto? Credo che tu abbia confuso qualche altro teorema ...
Cordialmente, Alex
"webmasterone":
se le basi sono diverse, o più di due $a^(f(x)) + a^(g(x)) + b^(h(x)) + c^(i(x)) $ ad esempio, devo convertirli
in logaritmi ($a^(f(x)) $ diventa $log a^(f(x)) $ )
scusate se mi intrometto, ma vorrei sapere dove hai letto sta cosa così da documentarmi pure io
comunque io sapevo che per trasformare un qualsiasi numero in un logaritmo bisognava far così:
se per esempio voglio trasformare il 2:
$2 -> log_n(x)=2 -> log_n(n^2)=2$ quindi il logaritmo di 2 è $log_n(n^2)$ con $n$ intendo un qualsiasi numero a tua scelta.
Scusate ma non sarebbe molto più semplice portare tutto alla forma $2*2^x =2^4$ e quindi senplificare e trovare $x=3$? 
cioè non capisco il perché del logaritmo
@autore (scusa non mi ricordo il nick mebtre scrivo ) forse ti sfugge che $16=2^4$
cioè non capisco il perché del logaritmo@autore (scusa non mi ricordo il nick mebtre scrivo
) forse ti sfugge che $16=2^4$
pag 102/103 del link che ho postato all' inizio
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
@Ragazzo123
Quella "cosa" che ha scritto è sbagliata, tanto sbagliata ... mentre per quanto riguarda la tua trasformazione in logaritmo, si parte da questa identità $1=log_a a$ dove la base $a$ è maggiore di zero e diversa da uno e si va avanti così ...
$1=log_a a\ ->\ n*1=n*log_a a\ ->\ n=log_a a^n$
Quella "cosa" che ha scritto è sbagliata, tanto sbagliata ... mentre per quanto riguarda la tua trasformazione in logaritmo, si parte da questa identità $1=log_a a$ dove la base $a$ è maggiore di zero e diversa da uno e si va avanti così ...
$1=log_a a\ ->\ n*1=n*log_a a\ ->\ n=log_a a^n$
lo so che ci sono metodi più rapidi, ma devi considerare che quando studi una lezione, e poi fai gli esercizi relativi, si presuppone che li risolvi con i metodi che hai appena imparato.
poi una volta che hai fito il corso, sei libero di usare i metodi che preferisci.
io ho appena finito la lezione che parla di esonenti e logaritmi, e spiega come risolvere le equazioni esponenziali usando i logaritmi
era per questo che volevo usarli.
poi una volta che hai fito il corso, sei libero di usare i metodi che preferisci.
io ho appena finito la lezione che parla di esonenti e logaritmi, e spiega come risolvere le equazioni esponenziali usando i logaritmi
era per questo che volevo usarli.
@webmasterone
In quel link non c'è scritto da nessuna parte quello che tu hai fatto ...
In quel link non c'è scritto da nessuna parte quello che tu hai fatto ...
appunto, qualcuno mi spiega dove ho sbagliato ad applicare quello che ho letto ?
Se ti ho appena detto che quello che hai fatto non è supportato da nessun teorema ovvero che ti sei inventato una regola, cos'altro ti devo dire?
Te l'ho scritto qual è il concetto valido, rileggi ... "Se due potenze aventi la stessa base ..."
Te l'ho scritto qual è il concetto valido, rileggi ... "Se due potenze aventi la stessa base ..."
Scusa ma credo di non aver capito.Tu vuoi risolverlo per forza con i logaritmi?Perché in caso contrario la soluzione te l'ho data un paio di post fa
Se è per quello l'avevo scritto ancor prima ... no, lui vuole risolverlo fin dall'inizio solo con i logaritmi ...
in questa immagine per risolvere l'esercizio $3^(x-1)=2^x$ fa degli strani passaggi, pone sia $3^(x-1)$ che $2$ sotto logaritmo... è questo che non hai capito?
Ma che strani passaggi, applica solo una delle proprietà fondamentali dei logaritmi ... $log_a b^n=n*log_a b$
"axpgn":
Ma che strani passaggi, applica solo una delle proprietà fondamentali dei logaritmi ... $log_a b^n=n*log_a b$
ma poco prima applica il logaritmo a tutti i membri... è possibile fare una cosa del genere?
si, esatto
dice che Se l’equazione non è riconducibile all’uguaglianza di due potenze con la stessa base, occorre utilizzare i logaritmi
e applica i logaritmi ai 2 membri
io vorrei risolvere l'equazione
$ 8*2^(x-1) -2^(x+1) = 16 $
utilizzando il sistema dei logaritmi
dice che Se l’equazione non è riconducibile all’uguaglianza di due potenze con la stessa base, occorre utilizzare i logaritmi
e applica i logaritmi ai 2 membri
io vorrei risolvere l'equazione
$ 8*2^(x-1) -2^(x+1) = 16 $
utilizzando il sistema dei logaritmi
l'equazione $8⋅2x−1−2x+1=16$ però è riconducibile ad un uguaglianza tra due potenze con la stessa base...
infatti se lo svolgi esce fuori $2^x=2^3$ quindi è per questo che non puoi usare il sistema dei logaritmi.
infatti se lo svolgi esce fuori $2^x=2^3$ quindi è per questo che non puoi usare il sistema dei logaritmi.
Ragazzi, state facendo una gran confusione ... leggete i post con le risposte e approfondite, dopo postate ...
@webmasterone
Credo di aver capito qual è il punto che ti ha sviato ... premesso che le pagine che hai linkato non sono di teoria ma piuttosto di tecniche risolutive, la frase "Applichiamo i logaritmi ad entrambi i membri" significa che ha trasformato in logaritmi con la stessa base il numero a sinistra e il numero a destra che nel caso in questione coincidevano con tutto il membro di sinistra e tutto il membro di destra; non credo sia ma stato scritto, in quel testo, che si possano applicare i logaritmi ad ogni singolo addendo di una somma algebrica ...
Ribadisco il concetto fondamentale (che discende dal fatto che la funzione esponenziale è iniettiva): se due potenze aventi la stessa base sono uguali allora lo saranno anche i loro esponenti.
Cordialmente, Alex
@webmasterone
Credo di aver capito qual è il punto che ti ha sviato ... premesso che le pagine che hai linkato non sono di teoria ma piuttosto di tecniche risolutive, la frase "Applichiamo i logaritmi ad entrambi i membri" significa che ha trasformato in logaritmi con la stessa base il numero a sinistra e il numero a destra che nel caso in questione coincidevano con tutto il membro di sinistra e tutto il membro di destra; non credo sia ma stato scritto, in quel testo, che si possano applicare i logaritmi ad ogni singolo addendo di una somma algebrica ...
Ribadisco il concetto fondamentale (che discende dal fatto che la funzione esponenziale è iniettiva): se due potenze aventi la stessa base sono uguali allora lo saranno anche i loro esponenti.
Cordialmente, Alex
ecco, finalmente allora ho capito il mio errore.
Quindi in definitiva posso usare quel metodo solo se ho due membri, non di più. corretto ?
Quindi in definitiva posso usare quel metodo solo se ho due membri, non di più. corretto ?
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