Equazione esponenziale
salve a tutti, ho un problema con un'equazione esponenziale e non riesco a risolverla! Il testo è il seguente:
\(\displaystyle 5^{2x}-5^{x+1}+6=0 \)
Mentre le soluzioni sono:
\(\displaystyle x_1=\log_{5}{(3)}, \ x_2=\log_{5}{(2)} \)
So di dover applicare le proprietà delle potenze per poi usare sostituzione ma non capisco come
\(\displaystyle 5^{2x}-5^{x+1}+6=0 \)
Mentre le soluzioni sono:
\(\displaystyle x_1=\log_{5}{(3)}, \ x_2=\log_{5}{(2)} \)
So di dover applicare le proprietà delle potenze per poi usare sostituzione ma non capisco come
Risposte
Ciao! Prova a porre $5^x=t$
Come diventano, in t, rispettivamente $5^(2x)$ e $5^(x+1)$
Come diventano, in t, rispettivamente $5^(2x)$ e $5^(x+1)$
"nick_10":
Ciao! Prova a porre $5^x=t$
Come diventano, in t, rispettivamente $5^(2x)$ e $5^(x+1)$
Questo passaggio l'ho fatto, se non sto sbagliando ora dovrei proseguire come se fosse un'equazione di secondo grado perché ottengo t^2-t+6=0, giusto?
Esatto! Risolvi in t e torna in x tramite i logaritmi
"nick_10":
Esatto! Risolvi in t e torna in x tramite i logaritmi
Proprio ciò che stavo facendo, però, se calcolo il discriminante mi viene che b^2-4ac= 1-4(1)(6)=-23 ed è qui che mi blocco!
$t^2-5t+6=0$
L'quazione in t dovrebbe essere: $t^2-5t+6=0$
"axpgn":
$t^2-5t+6=0$
Non so se sto dicendo giusto ma il tuo messaggio mi è sembrato illuminante, allora:
Applico la proprietà delle potenze e l'equazione diventa
5^2x-(5^x * 5)+6=0
Pongo t=5^x ed ottengo t^2-5t+6=0 corretto?
Yes
"axpgn":
Yes
e dire che quel passaggio l'avevo fatto! Però non avevo sostituito 5^x con t... Ora ho risolto, grazie mille ad entrambi
Ho un altro problema su un'altra equazione esponenziale, posso scriverlo qui per non aprire un altro thread?
Certo.
Ecco il testo:
\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{4}\right)^{2-3x}=\left(\sqrt[5]{8}\right)^{x+1} \)
Ho provato ad applicare le proprietà delle potenze ottenendo così due frazioni ma non sono sicuro sia la strada giusta da seguire.
Il risultato è questo:
\(\displaystyle x=\frac{11}{39} \)
\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{4}\right)^{2-3x}=\left(\sqrt[5]{8}\right)^{x+1} \)
Ho provato ad applicare le proprietà delle potenze ottenendo così due frazioni ma non sono sicuro sia la strada giusta da seguire.
Il risultato è questo:
\(\displaystyle x=\frac{11}{39} \)
"NerdMind":
Ecco il testo:
\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{4}\right)^{2-3x}=\left(\sqrt[5]{8}\right)^{x+1} \)
Ho provato ad applicare le proprietà delle potenze ottenendo così due frazioni ma non sono sicuro sia la strada giusta da seguire.
Il risultato è questo:
\(\displaystyle x=\frac{11}{39} \)
io la svolgo così:
per prima cosa trasformi $root(3)(4)$ in $4^(1/3)$ e $root(5)(8)$ in $8^(1/5)$
ora è davvero semplicissima da risolvere,
quindi l'equazione diventa semplicissima:
$(4^(1/3))^(2-3x)=(8^(1/5))^(x+1)$
credo che tu sappia andare avanti da solo , ma ti aiuto ancora un pochino
porto alla stessa base sia il $4$ che $8$ e quindi diventa:
$((2^2)^(1/3))^(2-3x)=((2^3)^(1/5))^(x+1)$
ora dovrebbe essere una passeggiata risolverla, se non riesci ad andare avanti posso continuare
"Ragazzo123":
[quote="NerdMind"]Ecco il testo:
\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{4}\right)^{2-3x}=\left(\sqrt[5]{8}\right)^{x+1} \)
Ho provato ad applicare le proprietà delle potenze ottenendo così due frazioni ma non sono sicuro sia la strada giusta da seguire.
Il risultato è questo:
\(\displaystyle x=\frac{11}{39} \)
io la svolgo così:
per prima cosa trasformi $root(3)(4)$ in $4^(1/3)$ e $root(5)(8)$ in $8^(1/5)$
ora è davvero semplicissima da risolvere,
quindi l'equazione diventa semplicissima:
$(4^(1/3))^(2-3x)=(8^(1/5))^(x+1)$
credo che tu sappia andare avanti da solo , ma ti aiuto ancora un pochino
porto alla stessa base sia il $4$ che $8$ e quindi diventa:
$((2^2)^(1/3))^(2-3x)=((2^3)^(1/5))^(x+1)$
ora dovrebbe essere una passeggiata risolverla, se non riesci ad andare avanti posso continuare
[/quote]Ho moltiplicato tutti gli esponenti tra di loro ed ho risolto l'equazione risultante, risolta! Grazie mille
Sto continuando con gli esercizi ma ogni tanto ho qualche problema 
Ho iniziato a fare un'equazione esponenziale ma non so se sto svolgendo tutto nella maniera corretta, vi posto il testo, il risultato e la foto dei passaggi che ho fatto
Testo: \(\displaystyle \sqrt[(x+3)]{4^x}=\sqrt{4}\sqrt[x]{\frac{1}{2^{1-x}}} \)
Risultato: \(\displaystyle x=\frac{3}{5}\mbox{ con cond. di esistenza } x\neq 0\wedge x\neq-3 \)
Mio svolgimento: https://ibb.co/gvpHp5
Non so come comportarmi con il \(\displaystyle \frac{2}{2-x}^{\frac{1}{x}} \) che ho ottenuto
Ho iniziato a fare un'equazione esponenziale ma non so se sto svolgendo tutto nella maniera corretta, vi posto il testo, il risultato e la foto dei passaggi che ho fattoTesto: \(\displaystyle \sqrt[(x+3)]{4^x}=\sqrt{4}\sqrt[x]{\frac{1}{2^{1-x}}} \)
Risultato: \(\displaystyle x=\frac{3}{5}\mbox{ con cond. di esistenza } x\neq 0\wedge x\neq-3 \)
Mio svolgimento: https://ibb.co/gvpHp5
Non so come comportarmi con il \(\displaystyle \frac{2}{2-x}^{\frac{1}{x}} \) che ho ottenuto
L'errore nello svolgimento è nello scrivere $2-x$, anzichè $2^(1-x)$ (la x doveva stare all'esponente)
"nick_10":
L'errore nello svolgimento è nello scrivere $2-x$, anzichè $2^(1-x)$ (la x doveva stare all'esponente)
Ok, ora ho visto l'errore, però anche così non riesco ad andare avanti, mi blocco sempre in quel 2^(1-x)
Allora prova così (non riporto il testo dell'equazione):
$4^(x/(x+3))=2*root(x)(2^0/2^(1-x))$
$2^(2(x/(x+3)))=2*root(x)(2^(x-1))$
$2^(2x/(x+3))=2*2^((x-1)/x)$
$2^(2x/(x+3))=2^(1+(x-1)/x)$
Passando agli esponenti si ottiene:$(2x)/(x+3)=1+(x-1)/x$. Da qui dovresti riuscire...
$4^(x/(x+3))=2*root(x)(2^0/2^(1-x))$
$2^(2(x/(x+3)))=2*root(x)(2^(x-1))$
$2^(2x/(x+3))=2*2^((x-1)/x)$
$2^(2x/(x+3))=2^(1+(x-1)/x)$
Passando agli esponenti si ottiene:$(2x)/(x+3)=1+(x-1)/x$. Da qui dovresti riuscire...
"nick_10":
Allora prova così (non riporto il testo dell'equazione):
$4^(x/(x+3))=2*root(x)(2^0/2^(1-x))$
$2^(2(x/(x+3)))=2*root(x)(2^(x-1))$
$2^(2x/(x+3))=2*2^((x-1)/x)$
$2^(2x/(x+3))=2^(1+(x-1)/x)$
Passando agli esponenti si ottiene:$(2x)/(x+3)=1+(x-1)/x$. Da qui dovresti riuscire...
Yes, ho capito dove sbagliavo, grazie mille
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