Equazione esponenziale
in questa equazione:
\(\displaystyle \sqrt[2x]{\mid 4^x - 12 \mid} \geq \sqrt[x]{2} \)
la x può essere un numero reale? oppure deve essere un numero naturale??
\(\displaystyle \sqrt[2x]{\mid 4^x - 12 \mid} \geq \sqrt[x]{2} \)
la x può essere un numero reale? oppure deve essere un numero naturale??
Risposte
L'incognita $x$ è un numero reale.
Qualsiasi radice del tipo $root(n)m$ si può scrivere nella forma $m^(1/n)$, motivo per il quale l'unico numero di $RR$ che devi escludere è lo zero, perché non puoi dividere un numero per zero.
Qualsiasi radice del tipo $root(n)m$ si può scrivere nella forma $m^(1/n)$, motivo per il quale l'unico numero di $RR$ che devi escludere è lo zero, perché non puoi dividere un numero per zero.
Beh, se si volesse essere pedanti andrebbe specificato a priori in quale ambiente si sta lavorando ... certamente, uno che vede quell'espressione con la $x$ pensa subito ai reali e se invece ci fosse una $n$ penserebbe ai naturali però non è scontato ...
"axpgn":
Beh, se si volesse essere pedanti andrebbe specificato a priori in quale ambiente si sta lavorando ... certamente, uno che vede quell'espressione con la $x$ pensa subito ai reali e se invece ci fosse una $n$ penserebbe ai naturali però non è scontato ...
Infatti !!
il testo tra l'altro, senza dire nulla in partenza, dà come soluzioni solo numeri naturali...
Ma il contesto qual è?
"axpgn":
Ma il contesto qual è?
equazioni esponenziali in un liceo scientifico
Qualcosina in più? Se siete all'inizio dell'argomento e non avete ancora avuto a che fare con esponenti non razionali mi pare scontato che gli esponenti siano "al massimo" razionali (e probabilmente nei primi esercizi anche solo naturali ...). IMHO.
"axpgn":
Qualcosina in più? Se siete all'inizio dell'argomento e non avete ancora avuto a che fare con esponenti non razionali mi pare scontato che gli esponenti siano "al massimo" razionali (e probabilmente nei primi esercizi anche solo naturali ...). IMHO.
no , macchè !!
è solo su questo esercizio che si danno soluzioni naturali. tutti gli altri della stessa pagina sono soluzioni reali!!!
(appena posso vi allego la pagina degli esercizi)
https://s21.postimg.org/v387vjfo7/Unknown.jpg
Pensavo che volessi sapere solo se una radice n-esima può avere un indice reale, o può appartenere solo ai numeri naturali.
Ovviamente bisogna vedere sempre caso per caso.
Ovviamente bisogna vedere sempre caso per caso.
"Gabriel Filice":
Pensavo che volessi sapere solo se una radice n-esima può avere un indice reale, o può appartenere solo ai numeri naturali.
Ovviamente bisogna vedere sempre caso per caso.
sì certo!!
ma se non si dice niente a riguardo? pesco in tutti i reali? e se sì, perché il libro che non specifica nulla dà le soluzioni solo naturali?
Forse non ci siamo capiti.
L'esercizio cosa ti dice di fare? Di svolgere la disequazione, di determinare il dominio...? Cosa?
Perché come hai posto tu la domanda sembrava volessi solo chiedere se l'indice di una radice n-esima può appartenere all'insieme dei numeri reali o deve essere necessariamente un numero naturale.
L'esercizio cosa ti dice di fare? Di svolgere la disequazione, di determinare il dominio...? Cosa?
Perché come hai posto tu la domanda sembrava volessi solo chiedere se l'indice di una radice n-esima può appartenere all'insieme dei numeri reali o deve essere necessariamente un numero naturale.
"Gabriel Filice":
Forse non ci siamo capiti.
L'esercizio cosa ti dice di fare? Di svolgere la disequazione, di determinare il dominio...? Cosa?
Perché come hai posto tu la domanda sembrava volessi solo chiedere se l'indice di una radice n-esima può appartenere all'insieme dei numeri reali o deve essere necessariamente un numero naturale.
l'esercizio chiede di risolvere la disequazione.
Io sono convinta che la $x$ deve essere un numero naturale, altrimenti non ha senso il simbolo di radice. La radice è definita solo con indice naturale maggiore di 1, infatti, parlando di indici di radice, si fa riferimento al fatto che siano pari o dispari. Non fate come alcuni dei miei studenti che non riconoscono un'equazione se l'incognita non è $x$.
Non c'è un caso per caso, l'indice di radice è un numero naturale, in caso diverso si usa la forma esponenziale.
Non c'è un caso per caso, l'indice di radice è un numero naturale, in caso diverso si usa la forma esponenziale.
"@melia":
Io sono convinta che la $x$ deve essere un numero naturale, altrimenti non ha senso il simbolo di radice. La radice è definita solo con indice naturale maggiore di 1, infatti, parlando di indici di radice, si fa riferimento al fatto che siano pari o dispari. Non fate come alcuni dei miei studenti che non riconoscono un'equazione se l'incognita non è $x$.
Non c'è un caso per caso, l'indice di radice è un numero naturale, in caso diverso si usa la forma esponenziale.
Non sono d'accordo. Neanche io condivido il messaggio di @axpgn, dove dice che chi "vede quell'espressione con la $x$ pensa subito ai reali e se invece ci fosse una $n$ penserebbe ai naturali", infatti indipendentemente da come si fosse chiamata l'incognita avrei sempre detto che l'indice di una radice appartiene all'insieme dei numeri $RR$.
Io posso esprimere la radice di un numero, prendiamo $root(3,5)7$ e riscriviamola come $7^(1/(3,5))$, e ottenere un risultato, in questo caso all'incirca $1,74$.
Chiariamo un attimo ...
- Non ho mai detto che "se c'è la $x$ allora è reale, se c'è $n$ allora è naturale", anzi ... tant'è che ho scritto "non è scontato" e ho chiesto quale fosse il contesto; ho semplicemente fatto la constatazione che siccome il 99% dei libri nel 99% dei casi adotta questa "convenzione", è facile che molte persone la assumano come regola. Tutto qui.
- Per quanto riguarda l'indice della radice io la vedo come @melia però mi è capitato di vedere casi in cui l'indice è stato supposto essere reale.
- Non ho mai detto che "se c'è la $x$ allora è reale, se c'è $n$ allora è naturale", anzi ... tant'è che ho scritto "non è scontato" e ho chiesto quale fosse il contesto; ho semplicemente fatto la constatazione che siccome il 99% dei libri nel 99% dei casi adotta questa "convenzione", è facile che molte persone la assumano come regola. Tutto qui.
- Per quanto riguarda l'indice della radice io la vedo come @melia però mi è capitato di vedere casi in cui l'indice è stato supposto essere reale.
Secondo me l'indice della radice bisogna considerarlo come numero reale. In ogni caso ho risolto la disequazione e non vedo motivo infatti per cui $x$ non debba essere reale.
Prima che pubblichi la soluzione, visto che si può scrivere in diverse forme, dimmi quella che ti da il libro.
PS: ho capito il fraintendimento, ma come sappiamo non cambia assolutamente nulla.
Prima che pubblichi la soluzione, visto che si può scrivere in diverse forme, dimmi quella che ti da il libro.
PS: ho capito il fraintendimento, ma come sappiamo non cambia assolutamente nulla.
"@melia":
Io sono convinta che la $x$ deve essere un numero naturale, altrimenti non ha senso il simbolo di radice. La radice è definita solo con indice naturale maggiore di 1, infatti, parlando di indici di radice, si fa riferimento al fatto che siano pari o dispari. Non fate come alcuni dei miei studenti che non riconoscono un'equazione se l'incognita non è $x$.
Non c'è un caso per caso, l'indice di radice è un numero naturale, in caso diverso si usa la forma esponenziale.
sì, pensandoci non si può che essere d'accordo con te (e con il libro tra l'altro, che poi è il Bergamini - Trifone)!! mentre si dà la definizione di potenza con indice naturale, intero, frazionario fino all'esponenziale, effettivamente non ho mai visto la radice definita con un indice diverso da un numero naturale..
"Gabriel Filice":
Secondo me l'indice della radice bisogna considerarlo come numero reale. In ogni caso ho risolto la disequazione e non vedo motivo infatti per cui $x$ non debba essere reale.
Prima che pubblichi la soluzione, visto che si può scrivere in diverse forme, dimmi quella che ti da il libro.
PS: ho capito il fraintendimento, ma come sappiamo non cambia assolutamente nulla.
il libro dà:
\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{N} - \left\{ 0 \right\} \)
$$
Allora, la soluzione è immediata.
Dalla disequazione ti vengono fuori due sistemi, il primo con equazioni:
$root(x) 2 < 0$
$|4^x - 12| ≥ 0$
L'altro:
$root(x) 2 ≥ 0$
$|4^x - 12| > 4$
Il primo sistema è impossibile, perché qualsiasi valore dai alla $x$ la radice con indice $x$ di 2 è sempre maggiore di 0.
Viceversa, come avrai già capito, la condizione per la quale $root(x) 2$ è maggiore o uguale a zero, nel secondo sistema, è verificata per ogni valore di $x$ tranne lo zero.
Il motivo per cui bisogna escludere lo zero te l'ho già spiegato, in quanto tu saprai che una radice n-esima si può scrivere sotto forma di potenza e non puoi dividere un numero per zero.
La soluzione è, quindi, \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \) e non \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{N} - \left\{ 0 \right\} \) come dice il libro.
Non voglio essere arrogante, ma ti assicuro che l'indice della radice può essere un numero reale qualsiasi.
Ti faccio degli esempi:
$root(-4)7$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-4)
$root(-5)7$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-5)
$root(-4)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-4)
$root(-5)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-5)
$root(-4,5)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... 1%2F-4%2C5)
In tutti gli esempi hai sempre un risultato, motivo per il quale è categorico che l'indice di una radice può essere un numero reale.
Dalla disequazione ti vengono fuori due sistemi, il primo con equazioni:
$root(x) 2 < 0$
$|4^x - 12| ≥ 0$
L'altro:
$root(x) 2 ≥ 0$
$|4^x - 12| > 4$
Il primo sistema è impossibile, perché qualsiasi valore dai alla $x$ la radice con indice $x$ di 2 è sempre maggiore di 0.
Viceversa, come avrai già capito, la condizione per la quale $root(x) 2$ è maggiore o uguale a zero, nel secondo sistema, è verificata per ogni valore di $x$ tranne lo zero.
Il motivo per cui bisogna escludere lo zero te l'ho già spiegato, in quanto tu saprai che una radice n-esima si può scrivere sotto forma di potenza e non puoi dividere un numero per zero.
La soluzione è, quindi, \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \) e non \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{N} - \left\{ 0 \right\} \) come dice il libro.
Non voglio essere arrogante, ma ti assicuro che l'indice della radice può essere un numero reale qualsiasi.
Ti faccio degli esempi:
$root(-4)7$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-4)
$root(-5)7$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-5)
$root(-4)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-4)
$root(-5)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-5)
$root(-4,5)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... 1%2F-4%2C5)
In tutti gli esempi hai sempre un risultato, motivo per il quale è categorico che l'indice di una radice può essere un numero reale.
Negli esempi che hai postato la calcolatrice non usa la radice, ma l'esponenziale, quindi sono d'accordo con google.
"Gabriel Filice":
Allora, la soluzione è immediata.
Dalla disequazione ti vengono fuori due sistemi, il primo con equazioni:
$root(x) 2 < 0$
$|4^x - 12| ≥ 0$
L'altro:
$root(x) 2 ≥ 0$
$|4^x - 12| > 4$
Il primo sistema è impossibile, perché qualsiasi valore dai alla $x$ la radice con indice $x$ di 2 è sempre maggiore di 0.
Viceversa, come avrai già capito, la condizione per la quale $root(x) 2$ è maggiore o uguale a zero, nel secondo sistema, è verificata per ogni valore di $x$ tranne lo zero.
Il motivo per cui bisogna escludere lo zero te l'ho già spiegato, in quanto tu saprai che una radice n-esima si può scrivere sotto forma di potenza e non puoi dividere un numero per zero.
La soluzione è, quindi, \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \) e non \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{N} - \left\{ 0 \right\} \) come dice il libro.
Non voglio essere arrogante, ma ti assicuro che l'indice della radice può essere un numero reale qualsiasi.
Ti faccio degli esempi:
$root(-4)7$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-4)
$root(-5)7$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-5)
$root(-4)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-4)
$root(-5)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... %5E(1%2F-5)
$root(-4,5)8$ https://www.google.it/webhp?sourceid=ch ... 1%2F-4%2C5)
In tutti gli esempi hai sempre un risultato, motivo per il quale è categorico che l'indice di una radice può essere un numero reale.
bah!! ma sei sicuro della risoluzione che hai dato??
io non farei ricorso ai due sistemi: i due membri sono entrambi positivi, quindi per liberarsi delle radici basta elevare i due membri a 2x, per questo deve essere x diverso da zero. quello che ne viene fuori è una disequazione esponenziale con valore assoluto; e se consideri tutto R oltre allo zero devi eliminare anche l'intervallo \(\displaystyle (\frac{3}{2},2) \).
mi date conferma?
ma sei sicuro della risoluzione che hai dato?
Sono sicurissimo della soluzione che ho dato.
L'indice della radice del primo membro è sicuramente pari, perché l'incognita $x$ viene moltiplicata per $2$, motivo per il quale non puoi elevare ambo i membri per $2x$ e cavartela semplicemente così, ma devi ricorrere al sistema di disequazioni.
Poi ci troviamo con la soluzione del libro, solo che secondo me $x$ appartiene a $RR$, secondo altri a $NN$.
A questo proposito voglio ricordare che scrivere $root(x)n$ è perfettamente uguale a scrivere $n^(1/x)$, tant'è vero che quando si programma una funzione (in informatica) per risolvere una radice n-esima si ricorre alla forma esponenziale: molti algoritmi di risoluzione di una radice $n$-esima con $n$ reale si basano, per esempio, sul metodo di Newton-Raphson.
Più di questo non so che dire. La soluzione è quella che ho detto io, se la volete considerare come \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \) bene, altrimenti a me non cambia. Se ritenete sia \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{N} - \left\{ 0 \right\} \) scrivete in quel modo.
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