Equazione esponenziale
in questa equazione:
\(\displaystyle \sqrt[2x]{\mid 4^x - 12 \mid} \geq \sqrt[x]{2} \)
la x può essere un numero reale? oppure deve essere un numero naturale??
\(\displaystyle \sqrt[2x]{\mid 4^x - 12 \mid} \geq \sqrt[x]{2} \)
la x può essere un numero reale? oppure deve essere un numero naturale??
Risposte
"Gabriel Filice":ma sei sicuro della risoluzione che hai dato?
Sono sicurissimo della soluzione che ho dato.
L'indice della radice del primo membro è sicuramente pari, perché l'incognita $x$ viene moltiplicata per $2$, motivo per il quale non puoi elevare ambo i membri per $2x$ e cavartela semplicemente così, ma devi ricorrere al sistema di disequazioni.
Poi ci troviamo con la soluzione del libro, solo che secondo me $x$ appartiene a $RR$, secondo altri a $NN$.
Ti faccio osservare che anche tu, come molti, hai deciso che $2x$ è pari anche se $x$ non è intero.
Una svista?
$x=0.5 =>2x=1$ che non è pari, ma dispari
$x=0.3 =>2x=0.6$ che non è né pari né dispari
"Gabriel Filice":ma sei sicuro della risoluzione che hai dato?
Sono sicurissimo della soluzione che ho dato.
L'indice della radice del primo membro è sicuramente pari, perché l'incognita $x$ viene moltiplicata per $2$, motivo per il quale non puoi elevare ambo i membri per $2x$ e cavartela semplicemente così, ma devi ricorrere al sistema di disequazioni.
Poi ci troviamo con la soluzione del libro, solo che secondo me $x$ appartiene a $RR$, secondo altri a $NN$.
A questo proposito voglio ricordare che scrivere $root(x)n$ è perfettamente uguale a scrivere $n^(1/x)$, tant'è vero che quando si programma una funzione (in informatica) per risolvere una radice n-esima si ricorre alla forma esponenziale: molti algoritmi di risoluzione di una radice $n$-esima con $n$ reale si basano, per esempio, sul metodo di Newton-Raphson.
Più di questo non so che dire. La soluzione è quella che ho detto io, se la volete considerare come \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\} \) bene, altrimenti a me non cambia. Se ritenete sia \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{N} - \left\{ 0 \right\} \) scrivete in quel modo.
scusa, non ho capito!!
qual è il problema ad elevare a un indice pari, se comunque i due membri sono entrambi positivi?
Ma soprattutto qual è il problema ad elevare un numero per il doppio di un reale, che può non essere pari.
"@melia":
Ma soprattutto qual è il problema ad elevare un numero per il doppio di un reale, che può non essere pari.
no, aspetta, mi sto perdendo..
posso procedere elevando a 2x i due membri??
Stai tranquillo, una volta che hai osservato che entrambi i membri sono positivi, puoi tranquillamente elevare alla $2x$, ottieni
$|4^x-12|>=4$
adesso con un valore assoluto confrontato con un numero (non con una $f(x)$ ) basta imporre
$4^x-12<= -4 vv 4^x-12>= 4$ che risolvendo diventa $x<= 3/2 vv x>=2$, ma, siccome a casa mia gli indici di radice devono essere naturali diversi da 0, diventa $x in NN_0$
$|4^x-12|>=4$
adesso con un valore assoluto confrontato con un numero (non con una $f(x)$ ) basta imporre
$4^x-12<= -4 vv 4^x-12>= 4$ che risolvendo diventa $x<= 3/2 vv x>=2$, ma, siccome a casa mia gli indici di radice devono essere naturali diversi da 0, diventa $x in NN_0$
"@melia":
Stai tranquillo, una volta che hai osservato che entrambi i membri sono positivi, puoi tranquillamente elevare alla $2x$, ottieni
$|4^x-12|>=4$
adesso con un valore assoluto confrontato con un numero (non con una $f(x)$ ) basta imporre
$4^x-12<= -4 vv 4^x-12>= 4$ che risolvendo diventa $x<= 3/2 vv x>=2$, ma, siccome a casa mia gli indici di radice devono essere naturali diversi da 0, diventa $x in NN_0$
sto tranquillo allora!! dicevo bene..
grazie
"@melia":
Ti faccio osservare che anche tu, come molti, hai deciso che $2x$ è pari anche se $x$ non è intero.
Una svista?
$x=0.5 =>2x=1$ che non è pari, ma dispari
$x=0.3 =>2x=0.6$ che non è né pari né dispari
Ho detto anche:
Poi ci troviamo con la soluzione del libro, solo che secondo me $x$ appartiene a $RR$, secondo altri a $NN$.
Stavo dimostrando come, anche se si ipotizzasse che $x$ fosse un numero naturale, non si potrebbe elevare tutto per $2x$ senza ricorrere ai due sistemi, perché questo si può fare in una disequazione solo quando l'indice della radice è dispari.
L'ultima frase risponde anche agli ultimi due post: se l'indice della radice è dispari, posso elevare ambo i membri all'indice della radice senza ricorrere al sistema, se l'indice della radice è pari, devo necessariamente ricorrere ai due sistemi.
Ricordando che l'indice della radice è un numero reale devo dire: se l'indice della radice è dispari, posso elevare ambo i membri all'indice della radice senza ricorrere al sistema (e fino a qui non cambia nulla), se l'indice della radice non lo è (qui sta la differenza), devo necessariamente ricorrere ai due sistemi.
In un formulario che il libro Matematica.blu 2.0 (volume 3) propone come schema riassuntivo a prima pagina si capisce forse meglio: http://dumpshare.net/images/3922399matematica.jpeg
Questo, essendo un testo di terza liceo, limita l'indice della radice ai naturali, perché parla di pari e dispari, ma è bene sapere che l'indice di una radice è reale, come si trova in altri testi più rigorosi.
Ma del resto, vi prego di rispondere a questa domanda, perché accettate che $7^(1/(3,5))$ si possa fare e $root(3,5) 7$ no? Se sappiamo che $7^(1/(3,5)) = root(3,5) 7$?
Perché non sono la stessa cosa ... se ti fai un giro su internet trovi che si parla sempre di "indici pari o dispari" e di "radice ennesima", (qui per esempio) parole che implicano che l'indice sia naturale (neanche intero ...).
L'operazione di estrazione di radice e la funzione esponenziale sono cose diverse, il fatto che calcolatrici e sw vari usano la seconda per calcolare la prima non implica che l'indice di radice sia reale e non intero ... tanto per fare un esempio la funzione esponenziale ($f(x)=a^x$) pretende che la base $a$ sia positiva ma la radice terza di $-27$ esiste, eccome se esiste ... se in Excel tu provi a calcolare $-27^(3/5)$ ti dà errore ma se fai due passaggi (cioè prima fai $-27^3=-19683$ e poi $-19683^(1/5)$) te lo fa, perché hanno cercato di mettere una pezza alla "differenza" tra le due "cose" ...
Cordialmente, Alex
L'operazione di estrazione di radice e la funzione esponenziale sono cose diverse, il fatto che calcolatrici e sw vari usano la seconda per calcolare la prima non implica che l'indice di radice sia reale e non intero ... tanto per fare un esempio la funzione esponenziale ($f(x)=a^x$) pretende che la base $a$ sia positiva ma la radice terza di $-27$ esiste, eccome se esiste ... se in Excel tu provi a calcolare $-27^(3/5)$ ti dà errore ma se fai due passaggi (cioè prima fai $-27^3=-19683$ e poi $-19683^(1/5)$) te lo fa, perché hanno cercato di mettere una pezza alla "differenza" tra le due "cose" ...
Cordialmente, Alex
Permettimi di riservarmi il dubbio perché Wikipedia non è una voce autorevole.
Non stiamo parlando di $a$, ma dell'indice della radice. Inoltre l'esempio che hai menzionato è calcolato, senza due passaggi come dici tu, dalla calcolatrice di Google. Avresti avuto ragione se NESSUN software prodotto da una software house autorevole avesse considerato illecita l'operazione di calcolo.
Se una cosa non si può fare, perché restituire un risultato? Infatti, se io elevo un numero qualsiasi a 1/0 non me lo fa fare, perché non posso dividere un numero per zero.
Cordialmente...
Non stiamo parlando di $a$, ma dell'indice della radice. Inoltre l'esempio che hai menzionato è calcolato, senza due passaggi come dici tu, dalla calcolatrice di Google. Avresti avuto ragione se NESSUN software prodotto da una software house autorevole avesse considerato illecita l'operazione di calcolo.
Se una cosa non si può fare, perché restituire un risultato? Infatti, se io elevo un numero qualsiasi a 1/0 non me lo fa fare, perché non posso dividere un numero per zero.
Cordialmente...
Ci stiamo girando intorno.
Le radici hanno indici interi perché, nel caso di indici dispari, è possibile lavorare anche con radicandi negativi.
Se vuoi vedere le radici come dei semplici esponenziali, fatti tuoi, ma in tal caso non puoi MAI avere radicandi negativi.
Le radici hanno indici interi perché, nel caso di indici dispari, è possibile lavorare anche con radicandi negativi.
Se vuoi vedere le radici come dei semplici esponenziali, fatti tuoi, ma in tal caso non puoi MAI avere radicandi negativi.
"Gabriel Filice":
Permettimi di riservarmi il dubbio perché Wikipedia non è una voce autorevole.
Oh, su questo sono pienamente d'accordo con te ... quello era il primo link cercando su Google, però anche gli altri erano simili, non ne ho visti di diversi ...
Peraltro anche la calcolatrice di Google ti ha ingannato perché tu hai scritto $-27^(3/5)$ ma lei ha calcolato $-(27^(3/5))$ ovvero prima ha fatto l'esponenziale su base positiva e poi le ha cambiato di segno ...
Ripeto quanto detto sopra: radice ed esponenziali non sono equivalenti ...
Faccio un altro esempio ... queste due scritture ($root(3)(x)$ e $x^(1/3$) non sono equivalenti in quanto la prima accetta qualsiasi valore reale ($x in RR$) mentre la seconda accetta solo basi non negative ($x in RR_(>=0)$) ...
Cordialmente, Alex
Stiamo ripetendo sempre lo stesse cose...
Poche storie, al liceo l'indice di una radice si limita a $NN$, altrimenti può essere addirittura un numero complesso.
Poche storie, al liceo l'indice di una radice si limita a $NN$, altrimenti può essere addirittura un numero complesso.
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