Equazione differenziale non omogenea del secondo ordine
Ciao ragazzi! Non riesco a risolvere la seguente equazione:
y''+y'-12y=6
E' un esercizio del mio libro, che però non fornisce alcun metodo per risolvere le non omogenee (tranne nel caso in cui i coefficienti di y' e y siano entrambi 0: in quel caso procede per integrazioni successive).
Mi sembra strano, forse mi sfugge qualcosa? Nella teoria, a proposito nelle non omogenee, dice solo che la soluzione è data dalla somma di una particolare della completa e della generale dell'omogenea associata (ma come trovo la particolare?). Inoltre,(a proposito delle integrazioni successive) aggiunge una nota a lato, dicendo che in genere la soluzione di può determinare rispetto a r(x) (y''+by'+cy=r(x)) (ma non ho capito che voglia dire...)
C'è un modo per risolverla con le informazioni fornite dal libro?
y''+y'-12y=6
E' un esercizio del mio libro, che però non fornisce alcun metodo per risolvere le non omogenee (tranne nel caso in cui i coefficienti di y' e y siano entrambi 0: in quel caso procede per integrazioni successive).
Mi sembra strano, forse mi sfugge qualcosa? Nella teoria, a proposito nelle non omogenee, dice solo che la soluzione è data dalla somma di una particolare della completa e della generale dell'omogenea associata (ma come trovo la particolare?). Inoltre,(a proposito delle integrazioni successive) aggiunge una nota a lato, dicendo che in genere la soluzione di può determinare rispetto a r(x) (y''+by'+cy=r(x)) (ma non ho capito che voglia dire...)
C'è un modo per risolverla con le informazioni fornite dal libro?
Risposte
Ciao
quella che hai di fronte si chiama "equazione differenziale di secondo grado non omogenea a coefficienti costanti"
che è nella forma
$y'' + ay' +by = f(x)$
dove nel tuo caso $f(x) = 6$
il cui risultato si compone della somma di due integrali che chiamiamo "integrale generale" che chiamiamo $y_p$ e "integrale particolare" che chiamiamo $w(x)$
quindi la tua soluzione completa $y$ è data da
$y = y_p + w(x)$
per prima cosa cerchiamo la soluzione $y_p$
per farlo poniamo $y'' + ay' +by = 0$ per cercare la cosidetta "omogenea associata
$y'' + y' - 12y = 0$
sostituiamo $y = e^(\lambda x)$
da cui otteniamo
$y' = \lambda e^(\lambda x)$
$y'' = \lambda^2 e^(\lambda x)$
che sostituiamo nell'omogenea associata e abbiamo
$y'' + y' - 12y = 0 -> \lambda^2 e^(\lambda x) + \lambda e^(\lambda x) - 12 e^(\lambda x) = 0 -> (\lambda^2 + \lambda - 12 )e^(\lambda x) = 0 $
ricordiamo che $e^(\lambda x) $ in quanto esponenziale non assume mai valore $0$ quindi la soluzione dell'omogenea associata dipende solo da $ (\lambda^2 + \lambda - 12 ) = 0$
i valori di $\lambda$ che ci danno la soluzione sono $\lambda = -4$ e $\lambda = 3$
siccome l'omogenea associata ha due soluzioni reali distinte, $y_p$ sarà nella forma
$y_p = c_1 e^(-4x) + c_2 e^(3x)$
i valori di $c_1$ e $c_2$ li lasciamo indicati, li possiamo trovare solo alla fine con le condizioni al contorno
adesso dobbiamo trovare l'integrale particolare $w(x)$
teniamo a mente che $f(x)$ in questo caso è una costante ovvero un polinomio di grado zero
e teniamo inoltre conto del fatto che $\lambda = 0$ non è una soluzione dell'omogenea associata, pertanto $w(x)$ sarà un polinomio dello stesso grado di $f(x)$ quindi $w(x) = C$ (da non confondere con $c_1$ e $c_2$ che abbiamo trovato prima
adesso che abbiamo trovato quale forma debba avere $w(x)$, ricordiamo che $w(x)$ è una soluzione della nostra equazione differenziale iniziale, quindi possiamo sostituirlo al posto di $y$ e le sue derivate, pertanto...
$y''+y'-12y=6 -> w''(x)+w'(x)-12w(x)=6$
beh è facile notare che $w(x)$ è una costante quindi tutte le derivate sono nulle
$w''(x)+w'(x)-12w(x)=6 -> C''+C'-12C=6 -> -12C=6 -> C =-6/12 -> C = -1/2 -> w(x) = -1/2$
tornando a ciò che abbiamo detto in precedenza, abbiamo che
$y = y_p + w(x)$
con
$y_p = c_1 e^(-4x) + c_2 e^(3x)$
$w(x) = -1/2$
quindi la tua soluzione è
$y = y_p + w(x) -> y = c_1 e^(-4x) + c_2 e^(3x) - 1/2 $
se conosci anche le condizioni al contorno puoi trovare le costanti $c_1$ e $c_2$ che ti mancano
quella che hai di fronte si chiama "equazione differenziale di secondo grado non omogenea a coefficienti costanti"
che è nella forma
$y'' + ay' +by = f(x)$
dove nel tuo caso $f(x) = 6$
il cui risultato si compone della somma di due integrali che chiamiamo "integrale generale" che chiamiamo $y_p$ e "integrale particolare" che chiamiamo $w(x)$
quindi la tua soluzione completa $y$ è data da
$y = y_p + w(x)$
per prima cosa cerchiamo la soluzione $y_p$
per farlo poniamo $y'' + ay' +by = 0$ per cercare la cosidetta "omogenea associata
$y'' + y' - 12y = 0$
sostituiamo $y = e^(\lambda x)$
da cui otteniamo
$y' = \lambda e^(\lambda x)$
$y'' = \lambda^2 e^(\lambda x)$
che sostituiamo nell'omogenea associata e abbiamo
$y'' + y' - 12y = 0 -> \lambda^2 e^(\lambda x) + \lambda e^(\lambda x) - 12 e^(\lambda x) = 0 -> (\lambda^2 + \lambda - 12 )e^(\lambda x) = 0 $
ricordiamo che $e^(\lambda x) $ in quanto esponenziale non assume mai valore $0$ quindi la soluzione dell'omogenea associata dipende solo da $ (\lambda^2 + \lambda - 12 ) = 0$
i valori di $\lambda$ che ci danno la soluzione sono $\lambda = -4$ e $\lambda = 3$
siccome l'omogenea associata ha due soluzioni reali distinte, $y_p$ sarà nella forma
$y_p = c_1 e^(-4x) + c_2 e^(3x)$
i valori di $c_1$ e $c_2$ li lasciamo indicati, li possiamo trovare solo alla fine con le condizioni al contorno
adesso dobbiamo trovare l'integrale particolare $w(x)$
teniamo a mente che $f(x)$ in questo caso è una costante ovvero un polinomio di grado zero
e teniamo inoltre conto del fatto che $\lambda = 0$ non è una soluzione dell'omogenea associata, pertanto $w(x)$ sarà un polinomio dello stesso grado di $f(x)$ quindi $w(x) = C$ (da non confondere con $c_1$ e $c_2$ che abbiamo trovato prima
adesso che abbiamo trovato quale forma debba avere $w(x)$, ricordiamo che $w(x)$ è una soluzione della nostra equazione differenziale iniziale, quindi possiamo sostituirlo al posto di $y$ e le sue derivate, pertanto...
$y''+y'-12y=6 -> w''(x)+w'(x)-12w(x)=6$
beh è facile notare che $w(x)$ è una costante quindi tutte le derivate sono nulle
$w''(x)+w'(x)-12w(x)=6 -> C''+C'-12C=6 -> -12C=6 -> C =-6/12 -> C = -1/2 -> w(x) = -1/2$
tornando a ciò che abbiamo detto in precedenza, abbiamo che
$y = y_p + w(x)$
con
$y_p = c_1 e^(-4x) + c_2 e^(3x)$
$w(x) = -1/2$
quindi la tua soluzione è
$y = y_p + w(x) -> y = c_1 e^(-4x) + c_2 e^(3x) - 1/2 $
se conosci anche le condizioni al contorno puoi trovare le costanti $c_1$ e $c_2$ che ti mancano
Grazie mille! Però non ho capito il perché di questo passaggio:
"e teniamo inoltre conto del fatto che λ=0 non è una soluzione dell'omogenea associata, pertanto w(x) sarà un polinomio dello stesso grado di f(x) quindi w(x)=C (da non confondere con c1 e c2 che abbiamo trovato prima"
Perché controlliamo se λ=0 sia soluzione dell'omogenea associata? E perché ne deduciamo che w(x) è un polinomio dello stesso grado di f(x)?
"e teniamo inoltre conto del fatto che λ=0 non è una soluzione dell'omogenea associata, pertanto w(x) sarà un polinomio dello stesso grado di f(x) quindi w(x)=C (da non confondere con c1 e c2 che abbiamo trovato prima"
Perché controlliamo se λ=0 sia soluzione dell'omogenea associata? E perché ne deduciamo che w(x) è un polinomio dello stesso grado di f(x)?
Ciao
se $\lambda = 0$ fosse stata una soluzione dell'omogenea associata, allora $w(x)$ sarebbe stata nella forma
$w(x) = x(R(X))$
dove $R(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $f(x)$ (in questo caso una costante)
per riassumere
se $\lambda = 0$ è una soluzione dell'omogenea associata:
$w(x) = Cx$
se $\lambda = 0$ non è una soluzione dell'omogenea associata:
$w(x) = C$
se $\lambda = 0$ fosse stata una soluzione dell'omogenea associata, allora $w(x)$ sarebbe stata nella forma
$w(x) = x(R(X))$
dove $R(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $f(x)$ (in questo caso una costante)
per riassumere
se $\lambda = 0$ è una soluzione dell'omogenea associata:
$w(x) = Cx$
se $\lambda = 0$ non è una soluzione dell'omogenea associata:
$w(x) = C$
Capito, grazie!
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