Equazione differenziale del secondo ordine

[davidepallucci]

Scusate , non so proprio come fare , come si risolve questa equazione differenziale ? y'' +3y' = x^2 +x +1 +(x+1)e^(-3x)

[mc2]

Si tratta di un'equazione lineare del secondo ordine non omogenea: per risolverla devi studiare la teoria (si trovano molti siti online dove e` spiegata, oppure cerca sul tuo libro di testo).

Questa equazione particolare puo` essere ridotta al primo ordine con la sostituzione y'=u , ma non e` particolarmente conveniente, quindi preferisco risolverla cosi` com'e`.


Per prima cosa bisogna trovare la soluzione generale dell'omogenea associata:

[math]y''+3y'=0[/math]

l'equazione caratteristica e`

[math]r^2+3r=0[/math]

che ammette le soluzioni r=0 e r=-3. Quindi la soluzione generale dell'omogenea associata e`:

[math]y_0=A+Be^{-3x}[/math]

, dove A e B sono delle costanti arbitrarie.


Ora bisogna cercare una soluzione particolare dell'equazione completa. Uso il metodo di somiglianza.


Osserviamo che il secondo membro dell'equazione contiene un polinomio di secondo grado (che possiamo immaginare che sia moltiplicato per

[math]e^{0x}[/math]

) ed un polinomio moltiplicato per

[math]e^{-3x}[/math]

.
0 e -3 coincidono con le radici dell'equazione caratteristica, quindi bisogna cercare una soluzione particolare della forma:

[math]y_P=xe^{-3x}(Cx+D)+x(Ex^2+Fx+G)[/math]

, dove C,D,E,F,G sono delle costanti da determinare.

Derivando y_P (due volte) e sostituendo nell'equazione di partenza bisogna imporre che i coefficienti dei termini simili siano identici, e cosi` si trovano le costanti. Facendo i calcoli (con un po' di pazienza!) si trova la soluzione particolare:

[math]y_p=xe^{-3x}(-\frac{1}{6}x-\frac{4}{9})+x(\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{18}x+\frac{8}{27})[/math]

In definitiva la soluzione generale dell'equazione data e`:

[math]y=A+Be^{-3x}+xe^{-3x}(-\frac{1}{6}x-\frac{4}{9})+x(\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{18}x+\frac{8}{27})[/math]

e le costanti A e B si determinano dalle condizioni iniziali.