Equazione differenziale a variabili separabili
Risolvi $y' - xy + 4x =0$
risolvendo con il metodo delle variabili separabili trovo all'ultimo passaggio:
$abs{y-4}= c e^{x^2/2}$
da cui la soluzione $y= c e^{x^2/2}+ 4$ (i passaggi per arrivare alla soluzione sono chiari)
non capisco quest'ultimo! che fine ha fatto il valore assoluto?
risolvendo con il metodo delle variabili separabili trovo all'ultimo passaggio:
$abs{y-4}= c e^{x^2/2}$
da cui la soluzione $y= c e^{x^2/2}+ 4$ (i passaggi per arrivare alla soluzione sono chiari)
non capisco quest'ultimo! che fine ha fatto il valore assoluto?
Risposte
osserviamo prima di tutto che c'è la soluzione costante $y=4$
il che vuol dire che per le soluzioni non costanti la $y$ o è sempre maggiore di $4$ o sempre minore di $4$
quando risolvendo a variabili separabili arrivi a $|y-4|=ce^(x/2)$ hai che $c>0$
togliendo il valore assoluto , se $y>4$ hai $ y=4+ce^(x^2/2)$ , se $y<4$ hai $y=4-ce^(x^2/2)$
quindi, è opportuno cambiare lettera e dire che tutte le soluzioni dell'equazione differenziale(compreso quella costante) si possono scrivere nella forma
$y=4+ke^(x^2/2)$ con $k in R$
per $k=0$ hai la soluzione costante
il che vuol dire che per le soluzioni non costanti la $y$ o è sempre maggiore di $4$ o sempre minore di $4$
quando risolvendo a variabili separabili arrivi a $|y-4|=ce^(x/2)$ hai che $c>0$
togliendo il valore assoluto , se $y>4$ hai $ y=4+ce^(x^2/2)$ , se $y<4$ hai $y=4-ce^(x^2/2)$
quindi, è opportuno cambiare lettera e dire che tutte le soluzioni dell'equazione differenziale(compreso quella costante) si possono scrivere nella forma
$y=4+ke^(x^2/2)$ con $k in R$
per $k=0$ hai la soluzione costante
ok, grazie
quindi ogni volta va fatta la discussione? non c'è modo di liberarsi del valore assoluto "velocemente"?
quindi ogni volta va fatta la discussione? non c'è modo di liberarsi del valore assoluto "velocemente"?
In effetti con le variabili separabili arrivi alla soluzione $ln|y-4|= x^2/2+c$ per $y!=4$ da cui
$|y-4|=e^(x^2/2+c)$ cioè $|y-4|=e^c*e^(x^2/2)$ possiamo sostituire $e^c$ con $C$ e, mentre $e^c$ è sempre positivo, $C$ può assumere anche valori negativi o nulli, per cui è possibile togliere il valore assoluto
$y=4+Ce^(x^2/2)$ non solo, quando $C=0$ si trova anche quella soluzione che abbiamo dovuto escludere a causa del procedimento utilizzato per trovare la soluzione separando le variabili.
$|y-4|=e^(x^2/2+c)$ cioè $|y-4|=e^c*e^(x^2/2)$ possiamo sostituire $e^c$ con $C$ e, mentre $e^c$ è sempre positivo, $C$ può assumere anche valori negativi o nulli, per cui è possibile togliere il valore assoluto
$y=4+Ce^(x^2/2)$ non solo, quando $C=0$ si trova anche quella soluzione che abbiamo dovuto escludere a causa del procedimento utilizzato per trovare la soluzione separando le variabili.
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