Equazione differenziale a variabili separabili

lasy1
Risolvi $y' - xy + 4x =0$

risolvendo con il metodo delle variabili separabili trovo all'ultimo passaggio:

$abs{y-4}= c e^{x^2/2}$

da cui la soluzione $y= c e^{x^2/2}+ 4$ (i passaggi per arrivare alla soluzione sono chiari)

non capisco quest'ultimo! che fine ha fatto il valore assoluto?

Risposte
l'abatefarina
osserviamo prima di tutto che c'è la soluzione costante $y=4$
il che vuol dire che per le soluzioni non costanti la $y$ o è sempre maggiore di $4$ o sempre minore di $4$
quando risolvendo a variabili separabili arrivi a $|y-4|=ce^(x/2)$ hai che $c>0$
togliendo il valore assoluto , se $y>4$ hai $ y=4+ce^(x^2/2)$ , se $y<4$ hai $y=4-ce^(x^2/2)$
quindi, è opportuno cambiare lettera e dire che tutte le soluzioni dell'equazione differenziale(compreso quella costante) si possono scrivere nella forma
$y=4+ke^(x^2/2)$ con $k in R$
per $k=0$ hai la soluzione costante

lasy1
ok, grazie

quindi ogni volta va fatta la discussione? non c'è modo di liberarsi del valore assoluto "velocemente"?

@melia
In effetti con le variabili separabili arrivi alla soluzione $ln|y-4|= x^2/2+c$ per $y!=4$ da cui
$|y-4|=e^(x^2/2+c)$ cioè $|y-4|=e^c*e^(x^2/2)$ possiamo sostituire $e^c$ con $C$ e, mentre $e^c$ è sempre positivo, $C$ può assumere anche valori negativi o nulli, per cui è possibile togliere il valore assoluto
$y=4+Ce^(x^2/2)$ non solo, quando $C=0$ si trova anche quella soluzione che abbiamo dovuto escludere a causa del procedimento utilizzato per trovare la soluzione separando le variabili.

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