Equazione differenziale

[pushola]

mi potete dire quanto vi trovate a questa equazione?

y'=-y/x + 1/x^2

[Pillaus]

Risolvi l'omogenea associata

[math]y' = -\frac{y}{x}[/math]

Per separazione delle variabili hai

[math]\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x}\\
\ln y = - \ln x = \ln \frac{1}{x}\\
y = \frac{c}{x}[/math]

la c ti viene dalla linearità dell'equazione. Ora, per la variazione delle costanti, tu scrivi

[math]\frac{c'}{x} = \frac{1}{x^2}\\
c' = \frac{1}{x}\\
c = \ln x + k[/math]

Dunque la soluzione finale è

[math]y = \frac{\ln x + k}{x}[/math]

Facendo la prova, infatti, hai:

[math]y' = \frac{\left(\ln x + k\right)'x - \left(\ln x + k\right) (x)'}{x^2} =\\
=\frac{1 - \ln x - k}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{y}{x}[/math]

[pushola]

sì anche io mi trovo così ....grazie mille