Equazione di una circonferenza (39470)

[BIT5]

l'equazione della parabola e'

[math] y=x^2-2x [/math]

Il punto di tangenza, dal momento che appartiene sia alla parabola che alla circonferenza, lo ricavi per sostituzione

[math] y= (-1)^2-2(-1)=3 [/math]

Ora prendiamo la circonferenza generica:

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

sai che il centro e' sull'asse x, quindi (dal momento che tutti i punti che giaciono sull'asse x hanno ordinata=0) sappiamo che la y del centro e' 0

siccome la y del centro di una circonferenza e'

[math] - \frac{b}{2} [/math]

allora

[math] - \frac{b}{2a}=0 \to b=0 [/math]

Quindi la circonferenza diverra'

[math] x^2+y^2+ax+c=0 [/math]

Inoltre sai che passa per il punto

[math] ( -1,3) [/math]

pertanto, per sostituzione (condizione di appartenenza del punto)

[math] (-1)^2+3^2+a(-1)+c=0 \to 1+9-a+c=0 \to c=a-10 [/math]

Quindi la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2+ax+a-10=0 [/math]

che rappresenta un fascio di circonferenze con centro sull'asse delle ascisse e passante per il punto (-1,3)

A questo punto trovi le intersezioni tra il fascio e la parabola:

[math] \{y=x^2-2x \\ x^2+y^2+ax+a-10=0 [/math]

Sostituisci alla y della circonferenza il valore esplicitato dalla parabola

[math] x^2+(x^2-2x)^2+ax+a-10=0 \to x^2+x^4-4x^3+4x^2+ax-10=0 \\ \to x^4-4x^3+5x^2+ax+a-10=0 [/math]

Ti trovi davanti pero' un'equazione di grado superiore al secondo. questo e' sensato, dal momento che una circonferenza puo' tranquillamente intersecare una parabola anche in 4 punti diversi.

Per ovviare il problema del grado dell'equazione, dobbiamo ragionare cosi'.

La retta tangente alla parabola in quel punto, e' anche la retta tangente alla circonferenza.

Troviamo la tangente alla parabola:

essa passa per il punto di tangenza:

[math] y=mx+q \to 3=-m+q \to q=3+m [/math]

le rette tangenti alla parabola e passanti per il punto sono quindi le rette appartenenti al fascio

[math] y=mx+3+m [/math]

e quella tangente:

[math] \{ y=mx+3+m \\ y=x^2-2x [/math]

Per confronto

[math] mx+3+m=x^2-2x \to x^2+(-2-m)x-3-m=0 [/math]

Delta = 0

[math] \Delta= (-2-m)^2-4(-3-m)=0 \to 4+4m+m^2+12+4m=0 \to \\ \to m^2+8m+16=0 [/math]

e quindi

[math] (m+4)^2=0 \to m+4=0 \to m=-4 [/math]

la retta tangente sara' dunque:

[math] y=-4x-1 [/math]

(tieni presente che se il punto appartiene ad una curva, la retta tangente in quel punto e' sempre una sola.. Il fatto di averne trovata solo una e' una conferma che stiamo procedendo correttamente)

A questo punto imponi che anche la circonferenza sia tangente a questa retta:

[math] \{ y=-4x-1 \\ x^2+y^2+ax+a-10=0 [/math]

sostituisci alla y il corrispondente della retta

[math] x^2+(-4x-1)^2+ax+a-10=0 \to x^2+16x^2+8x+1+ax+a-10=0 \to \\ \to 17x^2+(8+a)x+a-9=0 [/math]

[math] \Delta=0 \to (8+a)^2-4(17)(a-9)=0 \to 64+16a+a^2-68a+612=0 \to \\ \to a^2-52a+676=0 [/math]

da cui (usando la ridotta)

[math] a= 26 \pm \sqrt{676-676}=26 [/math]

e quindi la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2+26x+16=0 [/math]

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