Equazione di terzo grado
$y=x^3+4x^2-2$
Buon giorno, quale metodo utilizzare, che rientri nei programmi di terzo anno del Liceo scientifico, per trovare soluzioni reali (per l intersezione con l asse delle ascisse)?
Ho provato ad utilizzare il metodo di Ruffini ma non risulta scomponibile.
Grazie
Buon giorno, quale metodo utilizzare, che rientri nei programmi di terzo anno del Liceo scientifico, per trovare soluzioni reali (per l intersezione con l asse delle ascisse)?
Ho provato ad utilizzare il metodo di Ruffini ma non risulta scomponibile.
Grazie
Risposte
Semplicemente non le trovi e vai avanti.
Poi, se ti è stata anticipata qualcosa sul comportamento dei polinomi, puoi osservare che il polinomio $p(x)$ al secondo membro ha $p(0), p(-4) < 0 $ e $p(-1), p(1) >0$, quindi esso ha tre radici reali: la prima in $]-4,-1[$, la seconda da qualche parte in $]-1,0[$ e la terza dentro $]0,1[$.
Poi, se ti è stata anticipata qualcosa sul comportamento dei polinomi, puoi osservare che il polinomio $p(x)$ al secondo membro ha $p(0), p(-4) < 0 $ e $p(-1), p(1) >0$, quindi esso ha tre radici reali: la prima in $]-4,-1[$, la seconda da qualche parte in $]-1,0[$ e la terza dentro $]0,1[$.
"gugo82":
Semplicemente non le trovi e vai avanti.
Poi, se ti è stata anticipata qualcosa sul comportamento dei polinomi, puoi osservare che il polinomio $p(x)$ al secondo membro ha $p(0), p(-4) < 0 $ e $p(-1), p(1) >0$, quindi esso ha tre radici reali: la prima in $]-4,-1[$, la seconda da qualche parte in $]-1,0[$ e la terza dentro $]0,1[$.
Ciao, posso chiedere come mai utilizzi la notazione con le parentesi quadre aperte anziché quelle tonde chiuse, per indicare gli intervalli aperti? Mia curiosità, non la vedevo da un po', ma magari sono rimasto indietro.
Riguardo al comportamento dell'equazione di terzo grado in questione, l'utilizzo della formula generale lo escluderei a questo livello, ma giusto per completezza la linko qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
La lascerei stare e mi limiterei magari a stimare gli intervalli in cui ti aspetti le intersezioni della funzione con l'asse delle ascisse ($y=0$), giacché puoi ad esempio verificare quanto scritto da gugo82 e magari escludere anche dei sotto-intervalli, come $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ o $\left(-3, -1 \right)$, però non so se poi hai già studiato le derivate, conoscere $f'(x)$ (facilissima da calcolare in questo caso)... ti tornerebbe utile se vuoi migliorare l'approssimazione delle $3$ soluzioni procedendo per tentativi.
"marcokrt":
[quote="gugo82"]Semplicemente non le trovi e vai avanti.
Poi, se ti è stata anticipata qualcosa sul comportamento dei polinomi, puoi osservare che il polinomio $p(x)$ al secondo membro ha $p(0), p(-4) < 0 $ e $p(-1), p(1) >0$, quindi esso ha tre radici reali: la prima in $]-4,-1[$, la seconda da qualche parte in $]-1,0[$ e la terza dentro $]0,1[$.
Ciao, posso chiedere come mai utilizzi la notazione con le parentesi quadre aperte anziché quelle tonde chiuse, per indicare gli intervalli aperti? Mia curiosità, non la vedevo da un po', ma magari sono rimasto indietro.[/quote]
Sempre usata.
Le parentesi tonde le riservo -a seconda del contesto- alle coppie ordinate o agli intervalli che hanno estremi assegnati ma di cui non si sa/importa se siano aperti, chiusi o semiaperti.
"marcokrt":
Riguardo al comportamento dell'equazione di terzo grado in questione, l'utilizzo della formula generale lo escluderei a questo livello, ma giusto per completezza la linko qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
La lascerei stare e mi limiterei magari a stimare gli intervalli in cui ti aspetti le intersezioni della funzione con l'asse delle ascisse ($y=0$), giacché puoi ad esempio verificare quanto scritto da gugo82 e magari escludere anche dei sotto-intervalli, come $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ o $\left(-3, -1 \right)$, però non so se poi hai già studiato le derivate, conoscere $f'(x)$ (facilissima da calcolare in questo caso)... ti tornerebbe utile se vuoi migliorare l'approssimazione delle $3$ soluzioni procedendo per tentativi.
Nessuno dei metodi che citi è (usualmente) noto ad uno studente di terza, come ricorderai dalla tua esperienza scolastica probabilmente.
"gugo82":
Sempre usata.
Le parentesi tonde le riservo -a seconda del contesto- alle coppie ordinate o agli intervalli che hanno estremi assegnati ma di cui non si sa/importa se siano aperti, chiusi o semiaperti.
A dirla tutta, in base alla tua motivazione, mi sembra anche più adatta e più riconoscibile con le quadre specchiate. Poi, docente che vai, notazioni che trovi...
Nessuno dei metodi che citi è (usualmente) noto ad uno studente di terza, come ricorderai dalla tua esperienza scolastica probabilmente.
Non ricordavo l'anno esatto in cui si introducono le derivate e magari i programmi saranno pure cambiati rispetto a 25 anni fa, quando ero liceale (si studiano al quarto, immagino). Nulla vieta allo studente curioso di approfondire/anticipare qualche nozione per conto proprio, ma qui vorrei capire se il fatto di aver scelto dei coefficienti più "casuali" per il polinomio assegnato abbia uno scopo didattico preciso, che so... far capire che la regola di scomposizione di Ruffini a volte fallisce e non è sempre immediato accorgersi che tentar troppo può anche nuocere (sconfessando il noto proverbio).
La bisezione?
"ghira":
La bisezione?
Non invidio i ragazzi che dovranno iterare quel metodo. In pratica si tratterebbe di una versione peggiorativa di ciò che avevo ipotizzato quando avevo chiesto delle derivate... va beh, ci siamo passati tutti. Mi chiedo però se sia davvero necessario insegnarlo ancora, nell'era di WA (magari lo vedrei bene in un corso di programmazione), ma non fatto a mano.
Poi sono talmente vecchio che ricordo quando ci toccò calcolare con carta e penna le radici quadrate in classe, di certo non con nostalgia o rimpianto.
P.S. Non so se, a livello didattico, il metodo della bisezione possa essere utile per introdurre le frazioni continue o qualcosa del genere... nel caso fosse così, ritiro tutto.
"marcokrt":
P.S. Non so se, a livello didattico, il metodo della bisezione possa essere utile per introdurre le frazioni continue o qualcosa del genere... nel caso fosse così, ritiro tutto.
Scusa la domanda, marcokrt, ma tu le hai fatte le superiori?
"gugo82":
[quote="marcokrt"]P.S. Non so se, a livello didattico, il metodo della bisezione possa essere utile per introdurre le frazioni continue o qualcosa del genere... nel caso fosse così, ritiro tutto.
Scusa la domanda, marcokrt, ma tu le hai fatte le superiori?[/quote]
Troppo tempo fa, non ho idea di cosa si insegni oggi e quanta libertà abbiano docenti e ragazzi nell'approfondire i vari temi, tra competizioni matematiche e doposcuola. Per dire, ai tempi di mio nonno si scriveva col calamaio e non si possedeva una calcolatrice.
(Detto per inciso, ho pensato alle frazioni continue anche perché le usava Ramanujan che si era studiato un libro introduttivo di matematica antidiluviana).
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