Equazione di terzo grado
Buongiorno,
sono alle prese con la seguente equazione, apparentemente banale:
$ (x+1)/x=x^2/(x+1) $
Scartiamo i valori $ x=0 $ e $ x=-1 $ (condizioni di esistenza)
Ho provato a scrivere l'espressione di cui sopra come:
$ (x+1)^2=x^3 $
quindi ho sviluppato l'espressione ottenendo:
$ x^3-x^2-2x-1=0 $
Ad "occhio" non vedo alcuna scomposizione quindi ho tentato Ruffini ma é facile verificare che i possibili zeri (1 e -1) non annullano il polinomio di cui sopra.
Idee?
Vi ringrazio in anticipo dei suggerimenti.
sono alle prese con la seguente equazione, apparentemente banale:
$ (x+1)/x=x^2/(x+1) $
Scartiamo i valori $ x=0 $ e $ x=-1 $ (condizioni di esistenza)
Ho provato a scrivere l'espressione di cui sopra come:
$ (x+1)^2=x^3 $
quindi ho sviluppato l'espressione ottenendo:
$ x^3-x^2-2x-1=0 $
Ad "occhio" non vedo alcuna scomposizione quindi ho tentato Ruffini ma é facile verificare che i possibili zeri (1 e -1) non annullano il polinomio di cui sopra.
Idee?
Vi ringrazio in anticipo dei suggerimenti.
Risposte
Che classe fai? Vediamo di utilizzare le proprietà che ti sono più "vicine".
Esercizio di quarta superiore
Quarta superiore non mi dice niente, perché il programma di analisi matematica si sviluppa in modo diverso (4° o 5°) a seconda della scuola. Allora provo così: conosci i limiti? Sai tracciare il grafico di una funzione? Sai tracciare il grafico di una cubica? E quello di una parabola?
La via più breve sarebbe quella di rappresentare graficamente due curve.
Da $ x^3-x^2-2x-1=0 $, meglio se scritto $ x^3= x^2+2x+1 $ ottieni due curve
$y=x^3$ e $y=x^2+2x+1$, le rappresenti graficamente per capire se hanno intersezioni.
Dal grafico si evince che si intersecano una sola volta, questo significa che l'equazione associata ha una sola soluzione, molto vicina a 2 (si vede dal grafico che ho fatto con GeoGebra).
Allora adesso prendi la funzione $f(x)= x^3-x^2-2x-1$, se trovi 2 valori della $x$ in cui in uno la funzione è positiva e nell'altro è negativa, allora la soluzione cercata è nell'intervallo compreso tra i due valori della $x$.
$f(2)= -1$
$f(2,2)= +0,408$
questo significa che la soluzione cercata $x_0$ è compresa tra 2 e 2,2 cioè $2
Se calcolo anche $f(2,1)= -0,349$ posso dire che la soluzione $x_0$ verifica $2,1 < x_0 < 2,2$
Poi ci sono anche delle tecniche di calcolo numerico per arrivare alla soluzione, anche più precisa di quella che ho trovato io, ma questa è la via più semplice.
Da $ x^3-x^2-2x-1=0 $, meglio se scritto $ x^3= x^2+2x+1 $ ottieni due curve
$y=x^3$ e $y=x^2+2x+1$, le rappresenti graficamente per capire se hanno intersezioni.
Dal grafico si evince che si intersecano una sola volta, questo significa che l'equazione associata ha una sola soluzione, molto vicina a 2 (si vede dal grafico che ho fatto con GeoGebra).
Allora adesso prendi la funzione $f(x)= x^3-x^2-2x-1$, se trovi 2 valori della $x$ in cui in uno la funzione è positiva e nell'altro è negativa, allora la soluzione cercata è nell'intervallo compreso tra i due valori della $x$.
$f(2)= -1$
$f(2,2)= +0,408$
questo significa che la soluzione cercata $x_0$ è compresa tra 2 e 2,2 cioè $2
Se calcolo anche $f(2,1)= -0,349$ posso dire che la soluzione $x_0$ verifica $2,1 < x_0 < 2,2$
Poi ci sono anche delle tecniche di calcolo numerico per arrivare alla soluzione, anche più precisa di quella che ho trovato io, ma questa è la via più semplice.
Ciao Melia,
intanto grazie per la rapida risposta.
In effetti avevo anche io utilizzato il tuo metodo ma mi chiedevo... Se volessi ricavare tutte e tre le soluzioni (quindi anche le due complesse) come posso procedere?
Grazie mille!
intanto grazie per la rapida risposta.
In effetti avevo anche io utilizzato il tuo metodo ma mi chiedevo... Se volessi ricavare tutte e tre le soluzioni (quindi anche le due complesse) come posso procedere?
Grazie mille!
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