Equazione di secondo grado letterale

[ragoo1]

Salve.

Sono alle prese con questa equazione di secondo grado letterale:

[math]\left(a^2-b^2\right)x^2-\left(a^2+b^2\right)x+ab=0[/math]

Con la formula generale:

[math]x=\frac{\left(a^2+b^2\pm\sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4-4ab\left(a^2-b^2\right)}\right)}{2\left(a^2-b^2\right)}[/math]

Ora, sotto il segno di radice mi ritrovo:

[math]a^4+2a^2b^2+b^4-4a^3b+4ab^3[/math]

Che ordinato diventa:

[math]a^4-4a^3b+2a^2b^2+4ab^3+b^4[/math]

Ora, non ho la più pallida idea di come si possa fattorizzare un affare del genere. Immagino con qualche raccoglimento parziale strano. Wolfram dice che si tratta del quadrato di un trinomio. Okay... non mi è chiaro come ci arrivo. Non mi è nemmeno chiaro se dovrei saperlo, a dire il vero. Una dritta?

[ingres]

Onestamente mi sembra difficile difficile di primo acchito capire che si tratta di un quadrato.

Comunque per ottenerlo conviene partire a monte ovvero da

[math](a^2+b^2)^2-4ab(a^2-b^2)[/math]

che può essere riscritta anche così

[math](a^2-b^2)^2+4a^2b^2-4ab(a^2-b^2)[/math]

A questo punto basta riordinare

[math](a^2-b^2)^2-4ab(a^2-b^2)+4a^2b^2[/math]

per vedere che si tratta di un quadrato ovvero

[math](a^2-b^2-2ab)^2[/math]

[ragoo1]

Ti ringrazio.

Quindi il passaggio non detto sarebbe:

[math]\Delta=\left(a^2+b^2\right)^2-4ab\left(a^2-b^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

[math]=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

[math]=\left(a+bi\right)^2\left(a-bi\right)^2-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

[math]=\left(a^2+2abi+b^2i^2\right)\left(a^2-2abi+b^2i^2\right)-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

[math]=\left(a^2+2abi-b^2\right)\left(a^2-2abi-b^2\right)-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

[math]=\left\lbrack\left(a^2-b^2\right)+2abi\right\rbrack\left\lbrack\left(a^2-b^2\right)-2abi\right\rbrack-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

[math]=\left(a^2-b^2\right)^2-4a^2b^2i^2-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

[math]=\left(a^2-b^2\right)^2+4a^2b^2-4ab\left(a^2-b^2\right)=[/math]

Eccetera. Beh, sì, un gioco da ragazzi. Ci sarei arrivato senz'altro se non avessi avuto un bruscolo in un occhio. /s

Okay, quindi è davvero questo il modo per risolvere questa equazione? Si deve per forza passare di qua?

[ingres]

Lascerei perdere i complessi.
Magari ho semplificato troppo i passaggi ma l'idea di fondo è solo quella di aggiungere e togliere un termine

[math]2a^2b^2[/math]

e quindi ragguppare diversamente in modo da far emergere il termine

[math](a^2-b^2)^2[/math]

[ragoo1]

Suppongo intendevi il termine:

[math]4a^2b^2[/math]

Quindi:

[math]\left(a^2+b^2\right)^2-4ab\left(a^2-b^2\right)=\left(a^2+b^2\right)^2-4a^2b^2-4ab\left(a^2-b^2\right)+4a^2b^2[/math]

Giusto?

[ingres]

Intendevo così

[math](a^2+b^2)^2-4ab(a^2-b^2)=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2+2a^2b^2-4ab(a^2-b^2)=[/math]

[math]=a^4+b^4+2a^2b^2-2a^2b^2+2a^2b^2-4ab(a^2-b^2)=[/math]

[math]=a^4+b^4-2a^2b^2+4a^2b^2-4ab(a^2-b^2)=[/math]

[math]=(a^2-b^2)^2+4a^2b^2-4ab(a^2-b^2)[/math]

[mathlover24]

Ciao @ragoo1, sarebbe stato "quasi" una potenza quarta se il coefficiente di

[math]a^2b^2[/math]

fosse stato 6. A tal proposito, ti consiglio di dare un'occhiata al Triangolo di Tartaglia, dovrebbe rispondere alla tua domanda, cioè al "come avrei dovuto accorgermene?"