Equazione di secondo grado

[zerbo1000]

come si dimostra:

$ b^2-4ac <0 hArr ax^2+bx+c>0 vv x $ ?

grazie

[andar9896]

Non è del tutto esatto perché il trinomio assume il segno di $a$ comunque prova a vedere qui

[anto_zoolander]

Concordo con andar, non è scritto benissimo. In generale

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),forallx inRR$

Dove $x_1,x_2$ sono le radici del polinomio. Dunque il trinomio assume lo stesso segno di $a$.

Ora sappiamo che $x_1+x_2=-b/a$ e $x_1*x_2=c/a$ e $Delta=b^2-4ac$. Inoltre notiamo che deve essere $ane0$, sennò otterremmo una parabola degenere.

$a(x^2+(bx)/a+c/a)=a(x^2+(bx)/a+b^2/4-b^2/a+c/a)$

$a((x+b/2)^2-(b^2-4ac)/(4a^2))=a((x+b/2)^2-Delta/(4a^2))$

Ora nota che il primo termine è un quadrato, il secondo a denominatore ha un quadrato. Dunque se $Delta<0$ non esiste alcun valore di $x$ che annulla il polinomio. In particolare se $a>0$ la parabola ha sempre ordinate positive, se è negativo ordinate negative. Dunque vale l'implicazione

se $Delta<0wedgea>0$ \(\displaystyle \Longrightarrow \) parabola sempre positiva

se $Delta<0wedgea<0$ \(\displaystyle \Longrightarrow \) parabola sempre negativa

È facile anche dimostrare l'implicazione inversa assumendo che ha sempre ordinate positive e $a>0€, ovvero:

$ax^2+bx+c>0,forallx inRR^>$

Dunque l'ordinata del vertice deve essere positiva

$-Delta/(4a)>0$ \(\displaystyle \Longrightarrow \) $Delta/(4a)<0$

Essendo $a>0$ allora deve essere $Delta<0$. Analogo per la parabola con ordinate negative.

[@melia]

Se il discriminante è negativo $Delta=b^2-4ac<0$ il trinomio assume sempre il segno del primo coefficiente $a$ infatti

$ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a) = a(x^2+2*b/(2a)*x+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2)+c/a)=$
$=a[(x^2+2*b/(2a)*x+b^2/(4a^2))+(-b^2+4ac)/(4a^2)]=a[(x+b/(2a))^2+(-b^2+4ac)/(4a^2)]$

il polinomio dentro parentesi quadre è sempre positivo essendo la somma tra un quadrato e l'opposto di un numero negativo, quindi il segno del polinomio è determinato dal segno di $a$

[zerbo1000]

grazie