Equazione di II Grado
Se ho l'identità $ x=a $ ed elevo ambo i membri al quadrato, ho l'equazione $ x^2=a^2 $ che ha per soluzione $ \pm a $ .
Se dall'identità di sopra mi riconduco a $ x-a=0 $ e poi elevo al quadrato, ho $ x^2 - 2ax + a^2 =0 $ che non ha le stesse soluzioni di $ x^2=a^2 $. Perchè cambiano le soluzioni se mi ricordo di portare al I membro la $ a $ prima di elevare? Dire $ x = a $ è in qualche modo diverso dal dire $ x-a=0 $ ?
Se dall'identità di sopra mi riconduco a $ x-a=0 $ e poi elevo al quadrato, ho $ x^2 - 2ax + a^2 =0 $ che non ha le stesse soluzioni di $ x^2=a^2 $. Perchè cambiano le soluzioni se mi ricordo di portare al I membro la $ a $ prima di elevare? Dire $ x = a $ è in qualche modo diverso dal dire $ x-a=0 $ ?
Risposte
Non è che le soluzioni cambiano
$x^2 = a^2$ ha per soluzione $x = \pm a$ mentre $x^2 - 2ax + a^2 = 0$ ha per soluzione solo $a$. Come vedi hanno una soluzione in comune.
In realtà, in $x^2 = a^2 => |x| = a$ si mette il valore assoluto alla $x$ perché sia positiva che negativa la $x$ soddisfa comunque l'equazione, quindi se non abbiamo informazioni sulla $x$ dobbiamo considerarla entrambe. Quindi abbiamo due valori diversi della x che contemporaneamente soddisfano l'equazione.
Ma se abbiamo delle condizioni per la $x$ dobbiamo prendere solo le soluzioni che soddisfino anche quelle condizioni.In questo caso abbiamo che $x=a$ e quindi, per $ |x| = a$ prendiamo solo la soluzione $x=a$ e non quella $x=-a$
$x^2 = a^2$ ha per soluzione $x = \pm a$ mentre $x^2 - 2ax + a^2 = 0$ ha per soluzione solo $a$. Come vedi hanno una soluzione in comune.
In realtà, in $x^2 = a^2 => |x| = a$ si mette il valore assoluto alla $x$ perché sia positiva che negativa la $x$ soddisfa comunque l'equazione, quindi se non abbiamo informazioni sulla $x$ dobbiamo considerarla entrambe. Quindi abbiamo due valori diversi della x che contemporaneamente soddisfano l'equazione.
Ma se abbiamo delle condizioni per la $x$ dobbiamo prendere solo le soluzioni che soddisfino anche quelle condizioni.In questo caso abbiamo che $x=a$ e quindi, per $ |x| = a$ prendiamo solo la soluzione $x=a$ e non quella $x=-a$
"GianlucaN":
Se ho l'identità $ x=a $ ed elevo ambo i membri al quadrato, ho l'equazione $ x^2=a^2 $ che ha per soluzione $ \pm a $ .
Se dall'identità di sopra mi riconduco a $ x-a=0 $ e poi elevo al quadrato, ho $ x^2 - 2ax + a^2 =0 $ che non ha le stesse soluzioni di $ x^2=a^2 $. Perchè cambiano le soluzioni se mi ricordo di portare al I membro la $ a $ prima di elevare? Dire $ x = a $ è in qualche modo diverso dal dire $ x-a=0 $ ?
Veramente $ x^2 - 2ax + a^2 =0 $ non ha le stesse soluzioni di $ x-a=0 $, perché nella prima forma ci sono due soluzioni coincidenti e nella seconda solo una soluzione.
Elevare alla seconda non è un principio di equivalenza delle equazioni, quindi un'equazione di primo grado e le possibili equazioni di secondo che ottieni elevandola in qualche modo alla seconda non hanno le stesse identiche soluzioni. La soluzione dell'equazione di primo grado rimane dentro l'equazione di secondo, che, però, ne aggiunge una seconda, eventualmente identica.
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