Equazione dell'asse di un segmento
salve, determinare l'equazione dell'asse del segmento che ha per estremi i punti A(3,2) B(-1,6)
come comincio?
come comincio?
Risposte
Bene, vediamo l'algoritmo, cioè la sequenza di passi
- trovi il punto medio del segmento e lo chiami $M$
- trovi il coefficiente angolare $m$ della retta che contiene il segmento
- trovi il coefficiente angolare della perpendicolare a questa retta e lo chiami $m'$: questo sarà il coefficiente dell'asse
- scrivi la retta che ha come coefficiente angolare $m'$ e passa per $M$
Fine.
Tutto questo a partire dalla definizione di asse di un segmento: l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento stesso che passa per il suo punto medio.
- trovi il punto medio del segmento e lo chiami $M$
- trovi il coefficiente angolare $m$ della retta che contiene il segmento
- trovi il coefficiente angolare della perpendicolare a questa retta e lo chiami $m'$: questo sarà il coefficiente dell'asse
- scrivi la retta che ha come coefficiente angolare $m'$ e passa per $M$
Fine.
Tutto questo a partire dalla definizione di asse di un segmento: l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento stesso che passa per il suo punto medio.
bravissimo, vado per gradi. Devo trovare il punto medio?
Direi di sì... è il primo passo!
Ah aspetta, però!
Il metodo che ti ho suggerito è giusto, ma avete studiato il coefficiente angolare di una retta, la relazione di perpendicolarità, ecc.
Se non lo avete fatto puoi trovare l'asse di un segmento come luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Il metodo che ti ho suggerito è giusto, ma avete studiato il coefficiente angolare di una retta, la relazione di perpendicolarità, ecc.
Se non lo avete fatto puoi trovare l'asse di un segmento come luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
cioè devo trovare col metodo normale, $3-1/2$ $2-6/2$
$1 e -2$
$1 e -2$
il coefficiente angolare di una retta, perpendicolari sono quando i coefficienti sono reciproci. Una domanda, potresti spiegarmi quando 2 coefficienti sono proporzionali e quando reciproci?
Purtroppo adesso non ho molto tempo, quindi ti lascio alle "cure" di qualche altro utente.
Però nel frattempo ho buttato giù qualche riga di spiegazioni che ti lascio, sperando che tu trovi... ispirazione! Si tratta solo di seguire il ragionamento e sostituire i numeri. Buona lettura!
Di seguito vorrei riportare un ragionamento che ci consenta di trovare la generica formula per avere l'asse di un segmento, in modo da poterla poi utilizzare direttamente, evitando tutti i passaggi intermedi.
Si voglia trovare l'asse del segmento individuato dai punti $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$.
Per prima cosa troviamo il punto medio di questo segmento: dalle note formule si ha \[M(x_M, y_M) = \left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)\]
A questo punto individuiamo il coefficiente angolare della retta che passa per $A$ e $B$: \[m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\] Vogliamo ora trovare il coefficiente angolare $m'$ della retta perpendicolare: sapendo che deve valere la relazione \[m\cdot m' = -1\] possiamo subito concludere \[m' = \frac{x_A-x_B}{y_B-y_A}\]
Infine scriviamo la retta passante per $M$ ed avente coefficiente angolare $m'$: \[y-y_M = m'\left(x-x_M\right)\] Sostituendo tutto quello che abbiamo ricavato possiamo quindi concludere che l'asse del segmento abbia equazione \[y-\frac{y_A+y_B}{2} = \frac{x_A-x_B}{y_B-y_A}\left(x-\frac{x_A+x_B}{2}\right)\]
Vediamo ora un metodo alternativo: l'asse di un segmento è anche definibile come il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso. Consideriamo quindi gli stessi punti $A$ e $B$ visti in precedenza. Sia $P(x_P, y_P)$ un generico punto appartenente all'asse. Imponiamo che valga \[\overline{AP} = \overline{BP}\] Abbiamo \[\sqrt{\left(x_A-x_P\right)^2+\left(y_A-y_P\right)^2} = \sqrt{\left(x_B-x_P\right)^2 + \left(y_B-y_P\right)^2}\] Eleviamo entrambi i membri al quadrato e otteniamo infine \[\left(x_A-x_P\right)^2+\left(y_A-y_P\right)^2 = \left(x_B-x_P\right)^2 + \left(y_B-y_P\right)^2\]
Però nel frattempo ho buttato giù qualche riga di spiegazioni che ti lascio, sperando che tu trovi... ispirazione! Si tratta solo di seguire il ragionamento e sostituire i numeri. Buona lettura!
Di seguito vorrei riportare un ragionamento che ci consenta di trovare la generica formula per avere l'asse di un segmento, in modo da poterla poi utilizzare direttamente, evitando tutti i passaggi intermedi.
Si voglia trovare l'asse del segmento individuato dai punti $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$.
Per prima cosa troviamo il punto medio di questo segmento: dalle note formule si ha \[M(x_M, y_M) = \left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)\]
A questo punto individuiamo il coefficiente angolare della retta che passa per $A$ e $B$: \[m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\] Vogliamo ora trovare il coefficiente angolare $m'$ della retta perpendicolare: sapendo che deve valere la relazione \[m\cdot m' = -1\] possiamo subito concludere \[m' = \frac{x_A-x_B}{y_B-y_A}\]
Infine scriviamo la retta passante per $M$ ed avente coefficiente angolare $m'$: \[y-y_M = m'\left(x-x_M\right)\] Sostituendo tutto quello che abbiamo ricavato possiamo quindi concludere che l'asse del segmento abbia equazione \[y-\frac{y_A+y_B}{2} = \frac{x_A-x_B}{y_B-y_A}\left(x-\frac{x_A+x_B}{2}\right)\]
Vediamo ora un metodo alternativo: l'asse di un segmento è anche definibile come il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso. Consideriamo quindi gli stessi punti $A$ e $B$ visti in precedenza. Sia $P(x_P, y_P)$ un generico punto appartenente all'asse. Imponiamo che valga \[\overline{AP} = \overline{BP}\] Abbiamo \[\sqrt{\left(x_A-x_P\right)^2+\left(y_A-y_P\right)^2} = \sqrt{\left(x_B-x_P\right)^2 + \left(y_B-y_P\right)^2}\] Eleviamo entrambi i membri al quadrato e otteniamo infine \[\left(x_A-x_P\right)^2+\left(y_A-y_P\right)^2 = \left(x_B-x_P\right)^2 + \left(y_B-y_P\right)^2\]
allora scusa se ti faccio perdere tempo, io ora lo svolgo, poi quando puoi controlli se ho fatto bene?
Certamente! Tu fai tutto quello che sai fare e poi ne riparliamo. Poi ovviamente non sono l'unico che risponde qui sul forum: ci sono tante altre persone sicuramente più competenti di me che danno una mano.
A dopo!
A dopo!
grazie mille, a dopo seguo il tuo schema
minomic ti ha indicato il procedimento in generale; lo chiarisco ulteriormente con il seguente esempio.
Trovare l'asse del segmento di estremi $A(4,5)$ e $B(-2,3)$.
Come prima cosa fai il disegno, riportandovi i due punti, poi comincia con i calcoli. L'asse passa per il punto medio, quindi cominciamo a trovarlo e chiamiamolo $M$. Le sue coordinate sono
$x=(4+(-2))/2=1$
$y=(5+3)/2=4$
e quindi si ha $M(1,4)$. Riportalo sul disegno e controlla che sia davvero a metà di $AB$; se non succedesse sarebbe chiaro segno di qualche errore.
L'asse è perpendicolare ad $AB$ e per imporre questa condizione ci serve il coefficiente angolare $m_(AB)$; nel nostro problema il modo più rapido di calcolarlo è ricordare che è uguale a (differenza fra le y) fratto (differenza fra le x). Le due differenze possono essere calcolate in qualsiasi ordine, purché sia lo stesso a numeratore ed a denominatore; scelgo di cominciare da $A$ ed ho
$m_(AB)=(5-3)/(4-(-2))=2/6=1/3$
L'asse deve essere perpendicolare ad $AB$ e due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale $-1$, quindi scrivo
$m_("asse")*1/3=-1$ da cui ricavo $m_("asse")=-3$
A questo punto posso usare la formula $y-y_0=m(x-x_0)$: so che l'asse ha $m=-3$ e che passa per $M(1,4)$ quindi scrivo
$y-4=-3(x-1)$
cioè, a calcoli fatti,
$y=-3x+7$
Concludo disegnando la retta trovata e controllando che sia davvero quella che volevo. Per disegnarla posso ricordare che quando, come in questo caso, una retta è scritta nella forma $y=mx+q$, l'asse y è incontrato in $q$: nl nostro esempio, in $7$. Disegno quindi il punto $(0,7)$ e la retta che lo congiunge con $M$ e vedo che non ho sbagliato perché è davvero l'asse del segmento.
[size=150]Ora fai la stessa cosa con i tuoi dati.[/size]
Trovare l'asse del segmento di estremi $A(4,5)$ e $B(-2,3)$.
Come prima cosa fai il disegno, riportandovi i due punti, poi comincia con i calcoli. L'asse passa per il punto medio, quindi cominciamo a trovarlo e chiamiamolo $M$. Le sue coordinate sono
$x=(4+(-2))/2=1$
$y=(5+3)/2=4$
e quindi si ha $M(1,4)$. Riportalo sul disegno e controlla che sia davvero a metà di $AB$; se non succedesse sarebbe chiaro segno di qualche errore.
L'asse è perpendicolare ad $AB$ e per imporre questa condizione ci serve il coefficiente angolare $m_(AB)$; nel nostro problema il modo più rapido di calcolarlo è ricordare che è uguale a (differenza fra le y) fratto (differenza fra le x). Le due differenze possono essere calcolate in qualsiasi ordine, purché sia lo stesso a numeratore ed a denominatore; scelgo di cominciare da $A$ ed ho
$m_(AB)=(5-3)/(4-(-2))=2/6=1/3$
L'asse deve essere perpendicolare ad $AB$ e due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale $-1$, quindi scrivo
$m_("asse")*1/3=-1$ da cui ricavo $m_("asse")=-3$
A questo punto posso usare la formula $y-y_0=m(x-x_0)$: so che l'asse ha $m=-3$ e che passa per $M(1,4)$ quindi scrivo
$y-4=-3(x-1)$
cioè, a calcoli fatti,
$y=-3x+7$
Concludo disegnando la retta trovata e controllando che sia davvero quella che volevo. Per disegnarla posso ricordare che quando, come in questo caso, una retta è scritta nella forma $y=mx+q$, l'asse y è incontrato in $q$: nl nostro esempio, in $7$. Disegno quindi il punto $(0,7)$ e la retta che lo congiunge con $M$ e vedo che non ho sbagliato perché è davvero l'asse del segmento.
[size=150]Ora fai la stessa cosa con i tuoi dati.[/size]
fatto, mi riesce benissimo grazie
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