Equazione della parabola passante per 2 punti e tangente a r
Ciao ragazzi, ho un problema di geometria analitica che non riesco a risolvere:
Mi si chiede l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c avendo solamente le coordinate di V (2;0) e la retta tangente alla parabola y=8x
non capisco come faccio a risolverlo senza avere i due punti per cui passa la parabola!
grazie mille e scusate per la fretta, dopo vado a presentarmi!
Jacopo
Mi si chiede l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c avendo solamente le coordinate di V (2;0) e la retta tangente alla parabola y=8x
non capisco come faccio a risolverlo senza avere i due punti per cui passa la parabola!
grazie mille e scusate per la fretta, dopo vado a presentarmi!
Jacopo
Risposte
"lovealfa":
Ciao ragazzi, ho un problema di geometria analitica che non riesco a risolvere:
Mi si chiede l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c avendo solamente le coordinate di V (2;0) e la retta tangente alla parabola y=8x
non capisco come faccio a risolverlo senza avere i due punti per cui passa la parabola!
grazie mille e scusate per la fretta, dopo vado a presentarmi!
Jacopo
Il vertice ti dà due condizioni, la tangente un'altra e siamo a tre.
$V(-b/(2a),f(-b/(2a)))$ e non dimenticare che $V$ è un punto della parabola.
Risoluzione
Hai il punto V che appartiene alla parabola, inoltre dal nome suppongo che sia il vertice, quindi la sua ascissa vale $-b/(2a)$ che ti dà la seconda equazione-
quindi se non ho capito male dovrei mettere a sistema:
X del vertice (-b/2a)
Y del vertice (-delta/4a)
y=8x
quindi:
-b/2a = 2
-delta/4a = 0
y = 8x
come faccio a risolverlo? per sostituzione? (scusate l'ignoranza)
X del vertice (-b/2a)
Y del vertice (-delta/4a)
y=8x
quindi:
-b/2a = 2
-delta/4a = 0
y = 8x
come faccio a risolverlo? per sostituzione? (scusate l'ignoranza)
Se fai click nel mio post precedente dove dice di fare click c'è l'es. "quasi" risolto. Forse potresti trovarlo tutto risolto se mi va . Controlla bene i calcoli perché sono capace di fare $2+3=7$ 
P.S.: i sistemi sono ottimi per incasinarsi, meglio procedere per passi.
. Controlla bene i calcoli perché sono capace di fare $2+3=7$ P.S.: i sistemi sono ottimi per incasinarsi, meglio procedere per passi.
non mi apre nulla se clicco dove mi dice di cliccare, quindi non vedo nulla purtroppo!
purtroppo!
"lovealfa":
non mi apre nulla se clicco dove mi dice di cliccare, quindi non vedo nulla
Ahiaiai
ot/ma che browser usi? su che s.o.?/ot$y=ax^2+bx+c$
$-b/(2a)=2 rArr b=-4a rArr y=ax^2-4ax+c
$text(passaggio per V: )0=4a-8a+c rArr c=4a rArr y=ax^2-4ax+4a
$text(tangenza: ) {(y=ax^2-4ax+4a),(y=8x):} rArr ax^2-4ax+4a=8x
$rArr ax^2-2x(2a+4)+4a=0 rArr Delta/4=(2a+4)^2-(4a)*a=0 rArr Delta/4=4a^2+16a+16-4a^2=0 rArr 16a=-16 rArr a=-1
$gamma:y=-x^2+4x-4 rArr y=-(x-2)^2
Ripeto sono una frana coi calcoli.
Ot mode ON
Uso I.E. 7.0 su Win Xp
Ot mode OFF
Ora ho visto tutto! Grazie mille, ho capito perfettamente i passaggi (strano per me) !
Grazie ancora,
Jacopo
Uso I.E. 7.0 su Win Xp
Ot mode OFF
Ora ho visto tutto! Grazie mille, ho capito perfettamente i passaggi (strano per me) !
Grazie ancora,
Jacopo
"lovealfa":
Ot mode ON
Uso I.E. 7.0 su Win Xp
Ot mode OFF
Ora ho visto tutto! Grazie mille, ho capito perfettamente i passaggi (strano per me) !
Grazie ancora,
Jacopo
ot/strana sta cosa/ot
Le cordinate del vertice in realtà forniscono due "coppie" di condizioni, una è composta dall'ascissa ed il passaggio; sapresti dire qual è l'altra coppia e proporre una risoluzione equivalente dell'esercizio?
Ora che ho l'equazione della parabola credo di si, trovo un punto appartenente alla parabola, sostituisco all'equazione generale (y=ax^2+bx+c) le coordinate dei due punti, metto a sistema le due equazioni e calcolo i tre coefficienti (a,b & c)
giusto?
giusto?
Così è troppo facile. Io ti intendevo sempre partendendo dalle condizioni iniziali:
asse parallelo all'asse delle ordinate ($y=ax^2+bx+c$)
vertice di coordinate $V(2;0)
tangenza alla retta $t:y=8x
[/list:u:1ytkuhnd]
Nella precedente risoluzione ho sfruttato il vertice usando l'ascissa $-b/(2a)$ ed imponendo il passaggio per lo stesso. Tuttavia se non avessi imposto il passaggio, e solo se non lo avessi fatto, avrei potuto sfruttare un'altra proprietà del vertice. La mia domanda è: sapresti usare questa altra proprietà per risolvere l'esercizio?
Se tu non avessi imposto il passaggio, utilizzando la tangenza alla retta (y=8x) e vertice solo non saprei, ecco perchè mi sono scervellato per risolverlo in tutti i modi.
Come avrei potuto fare?
Io so solo le coordinate del vertice (so che giace sull'asse delle ascisse) ma niente altro..
Come avrei potuto fare?
Io so solo le coordinate del vertice (so che giace sull'asse delle ascisse) ma niente altro..
"lovealfa":
Se tu non avessi imposto il passaggio, utilizzando la tangenza alla retta (y=8x) e vertice solo non saprei, ecco perchè mi sono scervellato per risolverlo in tutti i modi.
Come avrei potuto fare?
Io so solo le coordinate del vertice (so che giace sull'asse delle ascisse) ma niente altro..
Come dicevo nel post precedente il vertice di una parabola fornisce due, anzi 3 coppie di condizioni diverse, che sono:
- $-b/(2a)$ ed il passaggio per il vertice
$-b/(2a)$ e $-Delta/(4a)=-(b^2-4ac)/(4a)$
$-Delta/(4a)$ ed il passaggio per il medesimo[/list:u:2d8ouiir]
Delle tre la prima è generalmente la più comoda, la seconda invece è la più amata dai libri di testo, la terza non la utilizzano neanche i masochisti
(scherzo non voglio offendere nessuno).Cia'
"lovealfa":
Mi si chiede l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c avendo solamente le coordinate di V (2;0) e la retta tangente alla parabola y=8x
Non usiamo le formule del vertice.
Ragioniamo nel modo seguente:
l'equazione della parabola è
$y = k (x-2)^2$
l'unico parametro da determinare è $k$;
a questo punto imponiamo la tangenza alla retta $y=8x$:
${(y=k(x-2)^2),(y=8x):}$
imponendo la tangenza si ottiene
$k=-1$
e quindi la parabola richiesta è
$y = -x^2 + 4x - 4$ .
Questo è un procedimento molto semplice!
Mio consiglio: quando conoscete il vertice di una parabola
usate la formula
$y = k (x-x_V)^2 + y_V$ .
In effetti lo si può pensare come fascio di parabole tangenti all'asse delle ascisse nel punto V(2;0). Carina come soluzione... sempre che uno abbia studiato i fasci
sempre che uno abbia studiato i fasci
La situazione nel piano cartesiano è quindi la seguente:
[asvg]xmin=-5; xmax=7;
ymin=-25; ymax=4;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("-(x-2)^2");
plot("8*x");[/asvg]
Il punto di tangenza è $P (-2 ; -16)$ .
[asvg]xmin=-5; xmax=7;
ymin=-25; ymax=4;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("-(x-2)^2");
plot("8*x");[/asvg]
Il punto di tangenza è $P (-2 ; -16)$ .
"friction":
In effetti lo si può pensare come fascio di parabole tangenti all'asse delle ascisse nel punto V(2;0). Carina come soluzione...
Non importa se uno non sa che cosa sono i fasci;
io ho scritto una generica parabola avente il vertice nel punto $(2 ; 0)$.
E' brutto usare le formule del vertice: oltre ad essere poco eleganti ti fanno fare un sacco di calcoli...
"franced":
[quote="friction"]In effetti lo si può pensare come fascio di parabole tangenti all'asse delle ascisse nel punto V(2;0). Carina come soluzione...
I fasci non c'entrano.
Io ho scritto una generica parabola avente il vertice nel punto $(2 ; 0)$.
E' brutto usare le formule del vertice: oltre ad essere poco eleganti ti fanno fare un sacco di calcoli...[/quote]
Mi sfugge come ottieni la formula precedente senza ricorrere ai fasci... non è che... un indizio?
"friction":
Mi sfugge come ottieni la formula precedente senza ricorrere ai fasci... non è che... un indizio?
Considera una generica parabola con vertice nell'origine:
$y = k x^2$
ora trasla di vettore $tau=((2),(0))$ in modo che l'origine finisca nel punto $V(2;0)$:
otterrai tutte le parabole aventi vertice in $V$.
Ti torna?
Direi proprio di si mi garba.
Ma $y=kx^2$ non è comunque un fascio? Dai scherzo, sei stato molto gentile, grazie. 
mi garba. Ma $y=kx^2$ non è comunque un fascio?
Dai scherzo, sei stato molto gentile, grazie.
"friction":
Direi proprio di si
Ma $y=kx^2$ non è comunque un fascio?
Vabbè, è il fascio "primitivo" !!
Ciao!
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