Equazione con una sola funzione goniometrica
Da
$(4sinx-1):sqrt(2sinx+1)+3sqrt(2sinx+1)=7sqrt(sinx)$
dopo alcuni passaggi arrivo a
$7sqrt(2t^2+t)-10t-2=0$
Si dovrebbe trattare di un'equazione di secondo grado...ma come si deve procedere per applicare la formula risolutiva!
$(4sinx-1):sqrt(2sinx+1)+3sqrt(2sinx+1)=7sqrt(sinx)$
dopo alcuni passaggi arrivo a
$7sqrt(2t^2+t)-10t-2=0$
Si dovrebbe trattare di un'equazione di secondo grado...ma come si deve procedere per applicare la formula risolutiva!
Risposte
Lì in mezzo ci sono un po' di condizioni di esistenza di cui tener conto. Spero tu lo abbia fatto.
Comunque ti conviene considerare \(\displaystyle \sqrt{2t^2 + t} = \frac{10t+2}{7} \)
Ora siccome dovresti aver imposto che \(\displaystyle \sin x \ge 0 \) sai che da entrambe la parti tu hai elementi positivi e quindi puoi elevare al quadrato entrambi i membri senza brutte sorprese. Il resto direi che è immediato.
Comunque ti conviene considerare \(\displaystyle \sqrt{2t^2 + t} = \frac{10t+2}{7} \)
Ora siccome dovresti aver imposto che \(\displaystyle \sin x \ge 0 \) sai che da entrambe la parti tu hai elementi positivi e quindi puoi elevare al quadrato entrambi i membri senza brutte sorprese. Il resto direi che è immediato.
grazie intanto per i consigli..
per condizioni di esistenza intendevi
$sqrt(2sin(x) + 1) >= 0->sinx>=-1/2$ per cui $x !=150°^^x!=-30°$
e poi come ci si arriva ad elevare entrambi i membri al quadrato ed arrivare alla soluzione?
Nella soluzione trovo tra i risultati 150° + k360°, ma per le condizioni di esistenza non dovrebbe essere sbagliato.
Forse sbaglio nelle $C.E.$
per condizioni di esistenza intendevi
$sqrt(2sin(x) + 1) >= 0->sinx>=-1/2$ per cui $x !=150°^^x!=-30°$
e poi come ci si arriva ad elevare entrambi i membri al quadrato ed arrivare alla soluzione?
Nella soluzione trovo tra i risultati 150° + k360°, ma per le condizioni di esistenza non dovrebbe essere sbagliato.
Forse sbaglio nelle $C.E.$
Le condizioni sono quella e \(\displaystyle \sin x \ge 0 \) e andavano poste sin dall'inizio in quanto la radice quadrata di un numero positivo non esiste (nei numeri reali). Inoltre la condizione da te scritta era stretta perché l'avevi al denominatore e non puoi dividere per 0. Quindi si riducono alla sola \(\displaystyle \sin x \ge 0 \) cioè \(\displaystyle 0
Ora siccome \(\displaystyle \sin x \ge 0 \) allora \(\displaystyle t\ge 0 \). Immagino tu abbia posto \(\displaystyle t = \sin x \).
Quindi \(\displaystyle \sqrt{2t^2+t} \) e \(\displaystyle 10t + 2 \) sono entrambi positivi. Ora all'interno dei reali positivi l'elevamento al quadrato è una funzione univoca e quindi non ci sono problemi.
Quindi elevando al quadrato ricavi \(\displaystyle \left(\sqrt{2t^2 + t}\right)^2 = \frac{(10t+2)^2}{49} \) cioè \(\displaystyle 2t^2 + t = \frac{(10t+2)^2}{49} \) da qui in poi i calcoli li dovresti saper fare.
Ora siccome \(\displaystyle \sin x \ge 0 \) allora \(\displaystyle t\ge 0 \). Immagino tu abbia posto \(\displaystyle t = \sin x \).
Quindi \(\displaystyle \sqrt{2t^2+t} \) e \(\displaystyle 10t + 2 \) sono entrambi positivi. Ora all'interno dei reali positivi l'elevamento al quadrato è una funzione univoca e quindi non ci sono problemi.
Quindi elevando al quadrato ricavi \(\displaystyle \left(\sqrt{2t^2 + t}\right)^2 = \frac{(10t+2)^2}{49} \) cioè \(\displaystyle 2t^2 + t = \frac{(10t+2)^2}{49} \) da qui in poi i calcoli li dovresti saper fare.
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