Equazione con modulo e radice quadrata
Hola 
Sto cercando di svolgere un esercizio un pelino modificato da me:
ho distinto due casi rispetto al modulo $x>=0$ e $x<0$, quindi ho cominciato a risolvere il primo sistema:
ho fatto questo:
per togliere la radice, sapendo che poi dovrei controllare le soluzioni, portando tutto a sx (ma anche prima) mi ritrovo con un polinomio di 4°grado:
non sapendo cosa farci ho pensato di fattorizzare il $x^2+2x+2$ ed ho scritto:
elevando al quadrato:
a questo punto non ho più idee per continuare
Potete darmi una mano o un suggerimento per andare avanti o tornare indietro?
In teoria Geogebra mi indica 2 soluzioni, anche se "bruttine": $x=0.2584869745387; x=4.587516845011$
Sto cercando di svolgere un esercizio un pelino modificato da me:
$x^2+2|x|+2=6x+\sqrt{x^2+1}$
ho distinto due casi rispetto al modulo $x>=0$ e $x<0$, quindi ho cominciato a risolvere il primo sistema:
\begin{cases}
x≥0 \\
x^2+2x+2=6x+\sqrt{x^2+1}
\end{cases}
x≥0 \\
x^2+2x+2=6x+\sqrt{x^2+1}
\end{cases}
ho fatto questo:
$x^2-4x+2=\sqrt{x^2+1}$
per togliere la radice, sapendo che poi dovrei controllare le soluzioni, portando tutto a sx (ma anche prima) mi ritrovo con un polinomio di 4°grado:
$x^4-8x^3+19x^2-16x+3=0$
non sapendo cosa farci ho pensato di fattorizzare il $x^2+2x+2$ ed ho scritto:
$(x-2+\sqrt{2})(x-2-\sqrt{2})=\sqrt{x^2+1}$
elevando al quadrato:
$(x-2+\sqrt{2})^2(x-2-\sqrt{2})^2=x^2+1$
a questo punto non ho più idee per continuare
Potete darmi una mano o un suggerimento per andare avanti o tornare indietro?
In teoria Geogebra mi indica 2 soluzioni, anche se "bruttine": $x=0.2584869745387; x=4.587516845011$
Risposte
Fino all'equazione di quarto grado va tutto bene, l'altro svolgimento è inutile, ti trovi ad un membro con un prodotto e l'altro con una somma.
Se ci fossero soluzioni razionali potresti trovarle con Ruffini, ma Ruffini con questo polinomio fa cilecca. Un'altra strada potrebbe essere quella di cercare i due polinomi di secondo grado che moltiplicati tra loro diano il polinomio di quarto, ma anche qui la vedo dura perché non hanno i termini noti razionali.
L'inica possibilità che rimane è la soluzione grafica. In questo caso consiglio di usare i due rami di parabola insieme e poi il ramo di iperbole:
$y=x^2+2|x|-6x+2$ per le parabole e $y=sqrt(x^2+1)$ per il ramo di iperbole.
Questi due grafici vengono anche a mano, la precisione non è buona come quella che si ottiene al computer, a meno che tu non faccia moltissimi calcoli, ma è evidente anche con un grafico approssimato a matita che ci sono soluzioni solo per $x>=0$ e sono due.
Se ci fossero soluzioni razionali potresti trovarle con Ruffini, ma Ruffini con questo polinomio fa cilecca. Un'altra strada potrebbe essere quella di cercare i due polinomi di secondo grado che moltiplicati tra loro diano il polinomio di quarto, ma anche qui la vedo dura perché non hanno i termini noti razionali.
L'inica possibilità che rimane è la soluzione grafica. In questo caso consiglio di usare i due rami di parabola insieme e poi il ramo di iperbole:
$y=x^2+2|x|-6x+2$ per le parabole e $y=sqrt(x^2+1)$ per il ramo di iperbole.
Questi due grafici vengono anche a mano, la precisione non è buona come quella che si ottiene al computer, a meno che tu non faccia moltissimi calcoli, ma è evidente anche con un grafico approssimato a matita che ci sono soluzioni solo per $x>=0$ e sono due.
"@melia":
L'inica possibilità che rimane è la soluzione grafica.
Ok, grazie per l'aiuto
E' curioso come una semplice $sqrt(x^2+1)$ possa rendere un'equazione con numeri così piccoli, un problema così complesso
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