Equazione con logaritmo
Hola 
Ho questa equazione:
su Geogebra vedo graficamente che non ci sono soluzioni, ma non riesco a dimostrarlo algebricamente.
Tutte le mie "mosse" mi portano a punti (per me) cechi:
il meglio che riesco a fare è $2^{2x}=x$, ma non capisco come uscirne
Potete darmi una mano?
Ho questa equazione:
$\log_2 x=2x$
su Geogebra vedo graficamente che non ci sono soluzioni, ma non riesco a dimostrarlo algebricamente.
Tutte le mie "mosse" mi portano a punti (per me) cechi:
il meglio che riesco a fare è $2^{2x}=x$, ma non capisco come uscirne
Potete darmi una mano?
Risposte
Sono entrambe funzioni monotone crescenti.
Fino a $x=1$ il logaritmo è negativo mentre $2x$ è positiva.
Oltre, la derivata di $2x$ è pari a $2$ mentre quella del logaritmo è minore di $2$ e decrescente.
Quindi la funzione $2x$ crescerà più velocemente del logaritmo e di conseguenza non si incontreranno mai.
IMHO
Cordialmente, Alex
Fino a $x=1$ il logaritmo è negativo mentre $2x$ è positiva.
Oltre, la derivata di $2x$ è pari a $2$ mentre quella del logaritmo è minore di $2$ e decrescente.
Quindi la funzione $2x$ crescerà più velocemente del logaritmo e di conseguenza non si incontreranno mai.
IMHO
Cordialmente, Alex
Grazie axpgn
Io non posso usare le derivate (che non ho fatto), quindi a parte il metodo del "ragionamento" sulle funzioni, posso spiegarla anche con dei passaggi algebrici (sposto questo di là, moltiplico quello di qua, ecc.), oppure posso solo usare delle argomentazioni come fai te?
Io non posso usare le derivate (che non ho fatto), quindi a parte il metodo del "ragionamento" sulle funzioni, posso spiegarla anche con dei passaggi algebrici (sposto questo di là, moltiplico quello di qua, ecc.), oppure posso solo usare delle argomentazioni come fai te?
Mah, algebricamente non saprei ... 
Si potrebbe provare così ...
Appurato che fino a $x=1$ il logaritmo è minore, definiamo $a=log_2 x$ e $b=2x$.
Quando passiamo da $x$ a $x^2$ abbiamo che $2x$ diventa $x*2x=x*b$ mentre $log_2(x)$ diventa $log_2 x^2= 2log_2 x=2a$
Ma è una cosa buttata lì ...
Cordialmente, Alex
Si potrebbe provare così ...
Appurato che fino a $x=1$ il logaritmo è minore, definiamo $a=log_2 x$ e $b=2x$.
Quando passiamo da $x$ a $x^2$ abbiamo che $2x$ diventa $x*2x=x*b$ mentre $log_2(x)$ diventa $log_2 x^2= 2log_2 x=2a$
Ma è una cosa buttata lì ...
Cordialmente, Alex
Pito, grazie Alex 
La funzione esponenziale è positiva quindi deve essere:
$4^{x}>0$ e quindi pure $x=4^{x}>0$
Inoltre per $x>0$risulta $4^{x}>1$ pertanto una eventuale soluzione
dell'equazione deve soddisfare la condizione $x>1$
Sia n un intero non negativo tale che
1)$4^{n}\leq x<4^{n+1}$
ma è anche
2)$4^{n}\leq4^{x}<4^{n+1}$ quindi
3) $n\leq x
Ma per $n>=1$
$4^{n}=(1+3)^{n}>=1+3n>=1+n$
e dalla 1) segue $x>n+1$
in contraddizione con la 3)
Quindi nessuna soluzione.
$4^{x}>0$ e quindi pure $x=4^{x}>0$
Inoltre per $x>0$risulta $4^{x}>1$ pertanto una eventuale soluzione
dell'equazione deve soddisfare la condizione $x>1$
Sia n un intero non negativo tale che
1)$4^{n}\leq x<4^{n+1}$
ma è anche
2)$4^{n}\leq4^{x}<4^{n+1}$ quindi
3) $n\leq x
Ma per $n>=1$
$4^{n}=(1+3)^{n}>=1+3n>=1+n$
e dalla 1) segue $x>n+1$
in contraddizione con la 3)
Quindi nessuna soluzione.
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