Equazione con logaritmo

crisixk
Hola :)

Ho questa equazione:
$\log_2 x=2x$

su Geogebra vedo graficamente che non ci sono soluzioni, ma non riesco a dimostrarlo algebricamente.
Tutte le mie "mosse" mi portano a punti (per me) cechi:

il meglio che riesco a fare è $2^{2x}=x$, ma non capisco come uscirne :partyman:

Potete darmi una mano?

Risposte
axpgn
Sono entrambe funzioni monotone crescenti.
Fino a $x=1$ il logaritmo è negativo mentre $2x$ è positiva.
Oltre, la derivata di $2x$ è pari a $2$ mentre quella del logaritmo è minore di $2$ e decrescente.
Quindi la funzione $2x$ crescerà più velocemente del logaritmo e di conseguenza non si incontreranno mai.
IMHO

Cordialmente, Alex

crisixk
Grazie axpgn :)

Io non posso usare le derivate (che non ho fatto), quindi a parte il metodo del "ragionamento" sulle funzioni, posso spiegarla anche con dei passaggi algebrici (sposto questo di là, moltiplico quello di qua, ecc.), oppure posso solo usare delle argomentazioni come fai te?

axpgn
Mah, algebricamente non saprei ... :-k

Si potrebbe provare così ...

Appurato che fino a $x=1$ il logaritmo è minore, definiamo $a=log_2 x$ e $b=2x$.
Quando passiamo da $x$ a $x^2$ abbiamo che $2x$ diventa $x*2x=x*b$ mentre $log_2(x)$ diventa $log_2 x^2= 2log_2 x=2a$

Ma è una cosa buttata lì ...

Cordialmente, Alex

crisixk
Pito, grazie Alex :-?

totissimus
La funzione esponenziale è positiva quindi deve essere:

$4^{x}>0$ e quindi pure $x=4^{x}>0$

Inoltre per $x>0$risulta $4^{x}>1$ pertanto una eventuale soluzione
dell'equazione deve soddisfare la condizione $x>1$

Sia n un intero non negativo tale che

1)$4^{n}\leq x<4^{n+1}$

ma è anche

2)$4^{n}\leq4^{x}<4^{n+1}$ quindi

3) $n\leq x
Ma per $n>=1$

$4^{n}=(1+3)^{n}>=1+3n>=1+n$

e dalla 1) segue $x>n+1$

in contraddizione con la 3)

Quindi nessuna soluzione.

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