Equazione alle differenze
Salve a tutti, per un corso scolastico ci è stato introdotto un pò il mondo delle equazioni alle differenze, soltanto che siccome non mi è chiaro per niente sin dall'inizio, qualcuno potrebbe darmi molto semplicemente una spiegazione dettagliata??? ve ne sarei molto grato!!! grazie 1000
Risposte
Per entrare nel mondo delle equazioni alle differenze ti devono essere chiare le successioni. Una successione di numeri reali è una funzione $\mathbb N \to \mathbb R$ che associa ad ogni intero $n$ un numero reale $X_n$.
Ad esempio, nella successione dei numeri pari $X_n = 2n$ ad ogni $n \in \mathbb N$ viene associato il suo doppio.
In una equazione alle differenze l'incognita da determinare è una successione. Nell'equazione si stabilisce una relazione tra termini di una successione incognita.
Considera questa situazione. Una telefonata ha un costo fisso di $a$ euro più $b$ euro per ogni minuto di conversazione. Sia $X_n$ il costo di una telefonata di $n$ minuti. $X_n$ è una successione i cui termini sono legati da questa relazione ricorsiva: il costo di una conversazione di $n+1$ minuti è uguale al costo dei primi $n$ a cui si aggiungono $b$ euro per l'ultimo minuto di conversazione:
$X_{n+1} = X_n + b$
considerando anche la condizione iniziale
$X_0 = a$
abbiamo scritto una equazione alle differenze.
In questo esempio i termini sono in progressione aritmetica; la soluzione dell'equazione, cioè la successione che soddisfa la relazione $X_{n+1} = X_n + b$ con dato iniziale $X_0 = a $ è
$X_n = a + nb$.
Questo caso particolare chiarisce anche il nome del tipo di equazioni, la relazione può essere riscritta come una relazione sulle differenze:
$X_{n+1} - X_n = b$
Si dice equazione alle differenze (di ordine 1 scritta in forma normale) l'insieme di equazioni
$X_{n+1} = g(n,X_n)$ con $n \in \mathbb N$ (1)
e con $g: \mathbb N \times \mathbb R \to \mathbb R$ funzione data.
Una soluzione è una successione che soddisfa (1) per ogni $n$
Nell'esempio precedente $g(n,x) = x+b$.
Consideriamo l'esempio dell'interesse composto calcolato ad un tasso costante $i$. L'ammontare $X_{n+1}$ di un deposito al tempo $n+1$ è dato dall'ammontare $X_n$ al tempo precedente più l'interesse calcolato al tasso $i$ su $X_n$:
$X_{n+1} = X_n + i X_n = (1+i)X_n$
Questa è una equazione alle differenze. Se il capitale iniziale $X_0 = C$, la soluzione è la successione:
$X_n= (1+i)^n C$.
Conosci la successione di Fibonacci? Puo' essere definita mediante una equazione alle differenze (di ordine 2, però):
$X_{n+1} = X_n + X_{n-1}$
Si dice equazione alle differenze (di ordine 2 scritta in forma normale) l'insieme di equazioni
$X_{n+1} = g(n,X_n,X_{n-1})$ con $n \in \mathbb N$
e con $g: \mathbb N \times \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ funzione data.
Nel caso di Fibonacci, $g(n,x,y) = x+y$.
Si può dimostrare che una soluzione con dati iniziali $X_0 = 0$ e $X_1 = 1$ è data da:
$X_n = \frac {1}{\sqrt 5}(\frac {1+\sqrt 5}{2} )^n - \frac {1}{\sqrt 5}(\frac {1 - \sqrt 5}{2} )^n$
Spero di averti chiarito le idee iniziali
Ad esempio, nella successione dei numeri pari $X_n = 2n$ ad ogni $n \in \mathbb N$ viene associato il suo doppio.
In una equazione alle differenze l'incognita da determinare è una successione. Nell'equazione si stabilisce una relazione tra termini di una successione incognita.
Considera questa situazione. Una telefonata ha un costo fisso di $a$ euro più $b$ euro per ogni minuto di conversazione. Sia $X_n$ il costo di una telefonata di $n$ minuti. $X_n$ è una successione i cui termini sono legati da questa relazione ricorsiva: il costo di una conversazione di $n+1$ minuti è uguale al costo dei primi $n$ a cui si aggiungono $b$ euro per l'ultimo minuto di conversazione:
$X_{n+1} = X_n + b$
considerando anche la condizione iniziale
$X_0 = a$
abbiamo scritto una equazione alle differenze.
In questo esempio i termini sono in progressione aritmetica; la soluzione dell'equazione, cioè la successione che soddisfa la relazione $X_{n+1} = X_n + b$ con dato iniziale $X_0 = a $ è
$X_n = a + nb$.
Questo caso particolare chiarisce anche il nome del tipo di equazioni, la relazione può essere riscritta come una relazione sulle differenze:
$X_{n+1} - X_n = b$
Si dice equazione alle differenze (di ordine 1 scritta in forma normale) l'insieme di equazioni
$X_{n+1} = g(n,X_n)$ con $n \in \mathbb N$ (1)
e con $g: \mathbb N \times \mathbb R \to \mathbb R$ funzione data.
Una soluzione è una successione che soddisfa (1) per ogni $n$
Nell'esempio precedente $g(n,x) = x+b$.
Consideriamo l'esempio dell'interesse composto calcolato ad un tasso costante $i$. L'ammontare $X_{n+1}$ di un deposito al tempo $n+1$ è dato dall'ammontare $X_n$ al tempo precedente più l'interesse calcolato al tasso $i$ su $X_n$:
$X_{n+1} = X_n + i X_n = (1+i)X_n$
Questa è una equazione alle differenze. Se il capitale iniziale $X_0 = C$, la soluzione è la successione:
$X_n= (1+i)^n C$.
Conosci la successione di Fibonacci? Puo' essere definita mediante una equazione alle differenze (di ordine 2, però):
$X_{n+1} = X_n + X_{n-1}$
Si dice equazione alle differenze (di ordine 2 scritta in forma normale) l'insieme di equazioni
$X_{n+1} = g(n,X_n,X_{n-1})$ con $n \in \mathbb N$
e con $g: \mathbb N \times \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ funzione data.
Nel caso di Fibonacci, $g(n,x,y) = x+y$.
Si può dimostrare che una soluzione con dati iniziali $X_0 = 0$ e $X_1 = 1$ è data da:
$X_n = \frac {1}{\sqrt 5}(\frac {1+\sqrt 5}{2} )^n - \frac {1}{\sqrt 5}(\frac {1 - \sqrt 5}{2} )^n$
Spero di averti chiarito le idee iniziali
Si grazie 1000 mi è chiarissimo ciò che hai detto,però mi serve la parte relativa a fibonacci in particolare, perchè l'introduzione credevo di averla toppata invece mi è chiara abbastanza bene, mentre su fibonacci vorrei qualche altra informazione. Ora ti spiego meglio perchè.. Il corso riguarda la dinamica delle popolazioni, che normalmente si studiano con matrici quadrate, il suo autovalore e il suo autovettore. Però proprio questa equazione alle differenze dovrebbe riportare allo studio del determinante di questo autovettore $(A-λI)*x=0$ dove A è la mia matrice, I è la mia matrice identità che ha in diagonale $-λ$,e $x$ il mio vettore.. non so se mi sono spiegato bene però il punto da focalizzare bene era proprio quella somiglianza tra lo studio dell'equazione alle differenze e il polinomio che mi ricavo calcolando il determinante della matrice quadrata di leslie.
Una equazione alle differenze lineare, omogenea, di ordine $k$ a coefficienti costanti è:
$X_{n+k} + a_{k-1} X_{n+k-1} + \cdots + a_1 X_{n+1} + a_0 X_n = 0$ per ogni $n \in \mathbb N$.
Il polinomio caratteristico associato è
$x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \cdots + a_1 x + a_0$
Nel caso di Fibonacci, hai una equazione lineare omogenea di ordine $k=2$:
$X_{n+2} - X_{n+1} - X_{n} = 0$ per ogni $n \in \mathbb N$.
Se $\lambda$ è una radice del polinomio caratteristico:
$\lambda^{2} - \lambda - 1 = 0$,
ogni successione del tipo:
$X_n = c \lambda^n$
soddisfa l'equazione poiché:
$c \lambda^n(\lambda^{2} - \lambda - 1) = 0$.
Il polinomio caratteristico $x^2 -x-1$ ammette due radici:
$\lambda_1 = \frac{1 - \sqrt 5}{2}$ e $\lambda_2 = \frac{1 + \sqrt 5}{2}$
dunque l'equazione alle differenze ammette le soluzioni:
$X_n = \lambda_1^n$ e $X_n = \lambda_2^n$.
Per un teorema fondamentale sulle soluzioni delle equazioni lineari omogenee, le infinite soluzioni dell'equazione alle differenze di Fibonacci si ottengono come combinazione lineare di queste due soluzioni particolari:
$ X_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n$.
Ponendo $c_1 = - \frac{1}{\sqrt 5}$ e $c_2 = \frac{1}{\sqrt 5}$, abbiamo la soluzione tale che $X_0=0$ e $X_1=1$
Se conosci la teoria delle equazioni differenziali lineari omogenee vedrai l'analogia
Nel caso del modello di Leslie, le equazioni alle differenze sono vettoriali.
L'equazione vettoriale è
$ X_{n+1} = A X_n$ dove $A$ è la matrice di Leslie.
Come nel caso in dimensione $1$, si verifica per induzione che:
$ X_{n} = A^n X_0$.
Sia $k$ la dimensione di $X_n$, siano $\lambda_1, \cdots, \lambda_k$ autovalori di $A$ con autovettori linearmente indipendenti $V_1,\cdots V_k$, allora si può dimostrare che le soluzioni di $ X_{n+1} = A X_n$ si possono scrivere come combinazione lineare:
$X_n = c_1 \lambda_1^n V_1 + \cdots + c_n \lambda_k ^n V_k$.
Cosa centra il polinomio caratteristico $det(A-\lambda I) $ con il polinomio caratteristico dell'equazione alle differenze lineare di ordine $k$? Pensando all'analogia con le equazioni differenziali, risponderei così.
Considera $k=2$ e l'equazione alle differenze:
$X_{n+2} + a_1 X_{n+1} + a_0 X_{n} = 0$ per ogni $n \in \mathbb N$
con polinomio caratteristico
$\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 $.
Se definiamo la successione di vettori: $Y_n = (X_{n} \ X_{n+1})^T$ e la matrice $M$ con $m_{11} = 0$, $m_{12} = 1$, $m_{21} = -a_0$, $m_{22} = - a_1$, l'equazione alle differenze diventa l'equazione vettoriale:
$Y_{n+1} = (X_{n+1} \ X_{n+2})^T = M (X_{n} \ X_{n+1})^T$
Il polinomio caratteristico è $det(M-\lambda I) = \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 $.
Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ sono autovalori, gli autovettori sono $(1 \ \lambda_1)^T$ e $(1 \ \lambda_2)^T$ e le soluzioni dell'equazione alle differenze vettoriale $Y_{n+1} = M Y_n$ sono, per il già citato teorema, le combinazioni lineari:
$Y_n = c_1 \lambda_1^n (1 \ \lambda_1)^T + c_2 \lambda_2^n (1 \ \lambda_2)^T$.
Isolando le due componenti di $Y_n$, abbiamo:
$X_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n$,
$X_{n+1} = c_1 \lambda_1^{n+1} + c_2 \lambda_2^{n+1}$
in accordo con quanto detto per il caso unidimensionale.
$X_{n+k} + a_{k-1} X_{n+k-1} + \cdots + a_1 X_{n+1} + a_0 X_n = 0$ per ogni $n \in \mathbb N$.
Il polinomio caratteristico associato è
$x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \cdots + a_1 x + a_0$
Nel caso di Fibonacci, hai una equazione lineare omogenea di ordine $k=2$:
$X_{n+2} - X_{n+1} - X_{n} = 0$ per ogni $n \in \mathbb N$.
Se $\lambda$ è una radice del polinomio caratteristico:
$\lambda^{2} - \lambda - 1 = 0$,
ogni successione del tipo:
$X_n = c \lambda^n$
soddisfa l'equazione poiché:
$c \lambda^n(\lambda^{2} - \lambda - 1) = 0$.
Il polinomio caratteristico $x^2 -x-1$ ammette due radici:
$\lambda_1 = \frac{1 - \sqrt 5}{2}$ e $\lambda_2 = \frac{1 + \sqrt 5}{2}$
dunque l'equazione alle differenze ammette le soluzioni:
$X_n = \lambda_1^n$ e $X_n = \lambda_2^n$.
Per un teorema fondamentale sulle soluzioni delle equazioni lineari omogenee, le infinite soluzioni dell'equazione alle differenze di Fibonacci si ottengono come combinazione lineare di queste due soluzioni particolari:
$ X_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n$.
Ponendo $c_1 = - \frac{1}{\sqrt 5}$ e $c_2 = \frac{1}{\sqrt 5}$, abbiamo la soluzione tale che $X_0=0$ e $X_1=1$
Se conosci la teoria delle equazioni differenziali lineari omogenee vedrai l'analogia
Nel caso del modello di Leslie, le equazioni alle differenze sono vettoriali.
L'equazione vettoriale è
$ X_{n+1} = A X_n$ dove $A$ è la matrice di Leslie.
Come nel caso in dimensione $1$, si verifica per induzione che:
$ X_{n} = A^n X_0$.
Sia $k$ la dimensione di $X_n$, siano $\lambda_1, \cdots, \lambda_k$ autovalori di $A$ con autovettori linearmente indipendenti $V_1,\cdots V_k$, allora si può dimostrare che le soluzioni di $ X_{n+1} = A X_n$ si possono scrivere come combinazione lineare:
$X_n = c_1 \lambda_1^n V_1 + \cdots + c_n \lambda_k ^n V_k$.
Cosa centra il polinomio caratteristico $det(A-\lambda I) $ con il polinomio caratteristico dell'equazione alle differenze lineare di ordine $k$? Pensando all'analogia con le equazioni differenziali, risponderei così.
Considera $k=2$ e l'equazione alle differenze:
$X_{n+2} + a_1 X_{n+1} + a_0 X_{n} = 0$ per ogni $n \in \mathbb N$
con polinomio caratteristico
$\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 $.
Se definiamo la successione di vettori: $Y_n = (X_{n} \ X_{n+1})^T$ e la matrice $M$ con $m_{11} = 0$, $m_{12} = 1$, $m_{21} = -a_0$, $m_{22} = - a_1$, l'equazione alle differenze diventa l'equazione vettoriale:
$Y_{n+1} = (X_{n+1} \ X_{n+2})^T = M (X_{n} \ X_{n+1})^T$
Il polinomio caratteristico è $det(M-\lambda I) = \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 $.
Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ sono autovalori, gli autovettori sono $(1 \ \lambda_1)^T$ e $(1 \ \lambda_2)^T$ e le soluzioni dell'equazione alle differenze vettoriale $Y_{n+1} = M Y_n$ sono, per il già citato teorema, le combinazioni lineari:
$Y_n = c_1 \lambda_1^n (1 \ \lambda_1)^T + c_2 \lambda_2^n (1 \ \lambda_2)^T$.
Isolando le due componenti di $Y_n$, abbiamo:
$X_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n$,
$X_{n+1} = c_1 \lambda_1^{n+1} + c_2 \lambda_2^{n+1}$
in accordo con quanto detto per il caso unidimensionale.
Ora ho capito bene il tutto, la parte che non mi era chiara me l'hai spiegata perfettamente!!!! grazie 1000 davvero!
salve! dopo un pò di tempo mi decido a riscrivere in questo post perchè mi sorge un ampio dubbio: vorrei capire meglio come si passa da una equazione alle differenze lineare a una equazione alle differenze vettoriale, perchè ho deciso di focalizzare il mio studio proprio su quel particolare che mi sembra molto interessante! qualcuno saprebbe descrivermelo bene anche con qualche esempio se possibile?? grazie 1000!!!
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