Eq. parabola con parametri

[comet1]

Mi è capitato un esercizio che non sono riuscito a risolvere correttamente.
Esso chiede:
Data la parabola di eq. y=x + (2k - 1)x + 1 con k appartenente ad R, determinare per quale valore di k:
a) il vertice della parabola appartiene alla bisettrice del 2° e 4° quadrante;
b) il vertice della parabola appartiene al secondo quadrante;

L'unica cosa che mi viene in mente è l'eq. della bisettrice in questione che è y=-x mentre per l'altro quesito il vertice dovrà avere ascissa negativa ed ordinata positiva...ma come?
Grazie per l'attenzione!

[Camillo]

Se l'equazione della parabola è data in forma : y= ax^2+bx+c allora le coordinate di V sono : -b/2a ; ......
nel caso tuo -b/2a vale : 1-2k/2 e imponi che questa quantità sia uguale alla ordinata, cambiata di segno, del punto di ascissa appunto 1-2k/2 e troverai una equazione in k che risolta ti da la soluzione .

[fireball1]

L'ascissa del vertice è: (1 - 2k)/2
L'ordinata si ottiene sostituendo l'ascissa nell'equazione ed è: (-4k² + 4k + 3)/4

La bisettrice del 2° e 4° quadrante è ovviamente y = -x

Sostituendo le coordinate del vertice in questa equazione si ottiene:

(-4k² + 4k + 3)/4 = (2k - 1)/2

Risolvendo l'equazione si ha k = sqrt(5)/2

Inoltre se appartiene al secondo quadrante, bisogna che l'ordinata sia positiva e l'ascissa negativa.

Si deve perciò risolvere il seguente sistema di disequazioni:

{ (-4k² + 4k + 3)/4 > 0
{ (1 - 2k)/2 < 0

{ -1/2 < k < 3/2
{ k > 1/2

La soluzione del sistema è dunque: 1/2 < k < 3/2

Modificato da - fireball il 16/04/2004 22:44:00

[fireball1]

Hey Camillo, è la prima volta che postiamo insieme !

[Camillo]

E' vero, Francesco, un bel caso !