Eq. esponenziali e logaritmiche
ho questo problema con il testo cui faccio riferimento : si tratta credo di un errore di testo , ma tuttavia , essendo quello in esame un argomento per me nuovo , preferisco chiedere
si tratta della semplificazione di un logaritmo
$log_5(x+1)^2 = 2log_5|x+1|$ ; fino a qui nessuno problema . il valore assoluto è giustificato dalla condizione posta dal libro in premessa , cui nella trattazione delle funzioni logaritmiche si farà riferimento al caso generale $x=log_ab<=>a^x=b$ dove $a>0 , a!=1$
il problema sorge quando il testo apre il sistema
$\{(2log_5(x+1) ; x+1>0=>x> -1),(2log_5(1-x) ; x+1<0=>x<-1):}$
domanda : è un errore di testo il $(1-x)$ o c'è qualche regola che il testo si dimentica di chiarire ? uso un "bignamino" dell'alphatest . non dovrebbe esserci un $(-1-x)$ ?
si tratta della semplificazione di un logaritmo
$log_5(x+1)^2 = 2log_5|x+1|$ ; fino a qui nessuno problema . il valore assoluto è giustificato dalla condizione posta dal libro in premessa , cui nella trattazione delle funzioni logaritmiche si farà riferimento al caso generale $x=log_ab<=>a^x=b$ dove $a>0 , a!=1$
il problema sorge quando il testo apre il sistema
$\{(2log_5(x+1) ; x+1>0=>x> -1),(2log_5(1-x) ; x+1<0=>x<-1):}$
domanda : è un errore di testo il $(1-x)$ o c'è qualche regola che il testo si dimentica di chiarire ? uso un "bignamino" dell'alphatest . non dovrebbe esserci un $(-1-x)$ ?
Risposte
Si hai ragione, sviluppando il valore assoluto verrebbe $-1-x$
ah ecco , dicevo che sembrava strano
grazie
grazie
il mio libro non crede sia necessario fornire le soluzioni dei seguenti esercizi ; ringrazio anticipatamente chi volesse aiutarmi nella correzione
a. $logx^2sqrt(x/y) => 2logx+1/2logx-1/2logy => 5/2logx-1/2logy$
b. $logroot(7)(xroot(4)y) => 1/7logx+1/28logy$
ne ho altri , ma credo che capendo questi , di riuscire ad autocorreggermi negli altri . i miei dubbi sono :
nell'esercizio $a$ è corretta la semplificazione della somma $2logx+1/2logx$ in $5/2logx$ ?
nell'esercizio $b$ è corretto moltiplicare il 4 con il 7 ?
grazie mille
a. $logx^2sqrt(x/y) => 2logx+1/2logx-1/2logy => 5/2logx-1/2logy$
b. $logroot(7)(xroot(4)y) => 1/7logx+1/28logy$
ne ho altri , ma credo che capendo questi , di riuscire ad autocorreggermi negli altri . i miei dubbi sono :
nell'esercizio $a$ è corretta la semplificazione della somma $2logx+1/2logx$ in $5/2logx$ ?
nell'esercizio $b$ è corretto moltiplicare il 4 con il 7 ?
grazie mille
come non detto , ho risolto con la calcolatrice
ho il seguente problema da risolvere con logaritmi : un recipiente contenente acqua a 100° C si raffredda secondo la legge $ T=t+D*2,72^(-0,03x)$
t : temperatura aria
D : differenza iniziale temperatura acqua aria
T : temperatura acqua dopo x minuti
se la temperatura dell'aria è 22° C , quale sarà la temperatura dell'acqua dopo 15 min ?
come procedere ? ho provato a risolvere l'esponenziale , e a trasformare la somma del primo termine col secondo in un logaritmo , ma non ottengo il risultato sperato , cioè 71,7° C
ho fatto questi passaggi : $0,03*15 = 0,45$ , ho trasformato in frazione $0,45=9/20$ , inverto l'esponente e moltiplico per $D=100-22$ , $ 78*root(20)2,72^9$
a questo punto , con la calcolatrice , ricavo $ 78*root(20)2,72^9= 122,363139$ , il tutto diventa $logT= log22*122,363139 = 3,43 $
dando sfogo a tutta la mia ignoranza , provo un approccio ragionato ; c'è un esponenziale decrescente , con un livello di partenza $t_0=78+22$ ... quindi è una funzione esponenziale . come posso convertirla in logaritmo se c'è una addizione ?
t : temperatura aria
D : differenza iniziale temperatura acqua aria
T : temperatura acqua dopo x minuti
se la temperatura dell'aria è 22° C , quale sarà la temperatura dell'acqua dopo 15 min ?
come procedere ? ho provato a risolvere l'esponenziale , e a trasformare la somma del primo termine col secondo in un logaritmo , ma non ottengo il risultato sperato , cioè 71,7° C
ho fatto questi passaggi : $0,03*15 = 0,45$ , ho trasformato in frazione $0,45=9/20$ , inverto l'esponente e moltiplico per $D=100-22$ , $ 78*root(20)2,72^9$
a questo punto , con la calcolatrice , ricavo $ 78*root(20)2,72^9= 122,363139$ , il tutto diventa $logT= log22*122,363139 = 3,43 $
dando sfogo a tutta la mia ignoranza , provo un approccio ragionato ; c'è un esponenziale decrescente , con un livello di partenza $t_0=78+22$ ... quindi è una funzione esponenziale . come posso convertirla in logaritmo se c'è una addizione ?
non è che mi siano chiarissimi i passaggi, però mi pare che tu abbia fatto due errori rilevanti:
l'esponente è negativo, per cui non devi moltiplicare per radice ventesima ..... ma dividere
il passaggio mancante che porterebbe alla tua espressione finale è sbagliato: non puoi esprimere logT come somma dei due logaritmi (quello che porterebbe al logaritmo del prodotto), ma solo al logaritmo dell'intera espressione (logaritmo della somma che però non ha un'espressione particolare, per cui non so a che cosa ti possano giovare i logaritmi...)
spero sia chiaro.
casomai ti potrebbe essere utile portare t al primo membro e risolvere rispetto a T-t, però non penso sia essenziale.
ciao.
l'esponente è negativo, per cui non devi moltiplicare per radice ventesima ..... ma dividere
il passaggio mancante che porterebbe alla tua espressione finale è sbagliato: non puoi esprimere logT come somma dei due logaritmi (quello che porterebbe al logaritmo del prodotto), ma solo al logaritmo dell'intera espressione (logaritmo della somma che però non ha un'espressione particolare, per cui non so a che cosa ti possano giovare i logaritmi...)
spero sia chiaro.
casomai ti potrebbe essere utile portare t al primo membro e risolvere rispetto a T-t, però non penso sia essenziale.
ciao.
io devo trovare T . come soluzione il libro propone 71,7°C
il passaggio corretto è questo
$T=22+78*1/(root(20)2,72^9)= 71,72$
anche a me è venuto il dubbio che il problema non andasse risolto con le proprietà dei logaritmi , anche vista la presenza di altri problemi risolti semplicemente con esponenziali ... ed infatti ora ho capito . basta sostituire ad x il valore dei minuti , svolgere i calcoli , ed ottenere 71,7°C come richiede il testo
chiedo scusa per il disturbo . grazie mille adaBTTLS
il passaggio corretto è questo
$T=22+78*1/(root(20)2,72^9)= 71,72$
anche a me è venuto il dubbio che il problema non andasse risolto con le proprietà dei logaritmi , anche vista la presenza di altri problemi risolti semplicemente con esponenziali ... ed infatti ora ho capito . basta sostituire ad x il valore dei minuti , svolgere i calcoli , ed ottenere 71,7°C come richiede il testo
chiedo scusa per il disturbo . grazie mille adaBTTLS
prego.
Usando la formula $Q=Q_0(2)^(-t/h)$
dove $Q_0$ è la quantità iniziale , $h$ è il tempo di semi vita e $q$ è la quantità che rimane dopo il tempo $t$
Dopo 450 minuti , 1414 grammi di Sodio 24 diventano 1000 grammi . Quanto tempo occorre perchè diventino 200 grammi ?
Il testo da come soluzione 2110 minuti , io ottengo circa 2540 minuti . mi potete dire se sbaglio nei passaggi per favore ?
ho la seguente formula $1000=1414*(2)^(-450/h)$
devo ricavare h , e quindi
$log(1000/1414)=(-450/h)log2$ ; $(log(1000/1414)/(log2))=-450/h$ ; $(log2)/(log(1000/1414))=-h/450$
$(log2*450)/(log(1000/1414))=-h$ da cui ottengo $h=900,39$
ora con la $h$ trovata vado a trovare il valore di $t$ quando $Q=200$
$log(200/1414)=(-t/900.39)log2$ ; $(log(200/1414)/(log2))=-t/900.39$ ; $((log(200/1414))*900,39)/(log2)=-t$
da cui ottengo $t=2540.6$ minuti
ora premetto che anche in altri esercizi ho notato una certa discrepanza dai valori che il testo fornisce ai miei , ed ho pensato ad inevitabili errori di approssimazione . ma da 2110 minuti a 2540 l'errore mi sembra un pochino troppo evidente ... dove ho sbagliato ?
dove $Q_0$ è la quantità iniziale , $h$ è il tempo di semi vita e $q$ è la quantità che rimane dopo il tempo $t$
Dopo 450 minuti , 1414 grammi di Sodio 24 diventano 1000 grammi . Quanto tempo occorre perchè diventino 200 grammi ?
Il testo da come soluzione 2110 minuti , io ottengo circa 2540 minuti . mi potete dire se sbaglio nei passaggi per favore ?
ho la seguente formula $1000=1414*(2)^(-450/h)$
devo ricavare h , e quindi
$log(1000/1414)=(-450/h)log2$ ; $(log(1000/1414)/(log2))=-450/h$ ; $(log2)/(log(1000/1414))=-h/450$
$(log2*450)/(log(1000/1414))=-h$ da cui ottengo $h=900,39$
ora con la $h$ trovata vado a trovare il valore di $t$ quando $Q=200$
$log(200/1414)=(-t/900.39)log2$ ; $(log(200/1414)/(log2))=-t/900.39$ ; $((log(200/1414))*900,39)/(log2)=-t$
da cui ottengo $t=2540.6$ minuti
ora premetto che anche in altri esercizi ho notato una certa discrepanza dai valori che il testo fornisce ai miei , ed ho pensato ad inevitabili errori di approssimazione . ma da 2110 minuti a 2540 l'errore mi sembra un pochino troppo evidente ... dove ho sbagliato ?
Mi viene il tuo stesso risultato, nonostante non abbia guardato i tuoi calcoli, per la precisione ottengo 2539,55.
il procedimento è esatto, l'ha verificato anche @melia. non mi metto a rifare i conti.
però ho notato che la differenza tra il valore trovato ed il risultato del libro non è molto diversa dal primo risultato.
azzardo un'ipotesi: forse chiedeva quanto tempo ci voleva (ancora) dunque per passare da 1000 a 200 grammi ...
però ho notato che la differenza tra il valore trovato ed il risultato del libro non è molto diversa dal primo risultato.
azzardo un'ipotesi: forse chiedeva quanto tempo ci voleva (ancora) dunque per passare da 1000 a 200 grammi ...
dunque , secondo l'ipotesi di adaBTTLS , inserendo al posto di $log(200/1414)$ il valore $log(200/1000)$ ottengo il valore $2090.64$ minuti
quindi ,ipotizzo il testo intendesse proprio il "proseguimento" del dimezzamento del Sodio 24 , come suggerisci tu adaBTTLS (ti posso chiamare solo ada?)
voi che dite ? per sapere la verità non ci resta che andare dal droghiere e comprare un pò di sodio 24 e fare una prova
quindi ,ipotizzo il testo intendesse proprio il "proseguimento" del dimezzamento del Sodio 24 , come suggerisci tu adaBTTLS (ti posso chiamare solo ada?)
voi che dite ? per sapere la verità non ci resta che andare dal droghiere e comprare un pò di sodio 24 e fare una prova
chiamami tranquillamente solo ada (il resto l'ho dovuto aggiungere perché evidentemente non ero l'unica a "chiamarmi" così ... , tanto è tutto un acronimo, anzi 2!). la prova "numerica", prima di ricorrere al droghiere, l'hai fatta?
prova numerica ?
il calcolo brutale, da confrontare con il risultato del libro.
era per caso 2090.64?
sì, allora l'hai già fatto, perché nell'altra pagina c'è un numero leggermente diverso: 2110 mi pare .....
era per caso 2090.64?
sì, allora l'hai già fatto, perché nell'altra pagina c'è un numero leggermente diverso: 2110 mi pare .....
sì infatti , scusami mi sono dimenticato di riportarlo ...
il risultato che il libro mi da come soluzione è proprio 2110 ... quindi il secondo risultato trovato , e cioè 2090 è più vicino , che 2539,55
il risultato che il libro mi da come soluzione è proprio 2110 ... quindi il secondo risultato trovato , e cioè 2090 è più vicino , che 2539,55
qualcuno sa illuminarmi su questo esercizio ?
$2^(x+1)+4^x=80$
ho provato a fare così
$2^(x+1)+2^(2x)=80$ ; $2^x(2+2^x)=80$ ; e poi ? mi perdo in un bicchier d'acqua ?
per favore non risolvetelo , datemi solo un suggerimento , grazie mille
ps: x=3
$2^(x+1)+4^x=80$
ho provato a fare così
$2^(x+1)+2^(2x)=80$ ; $2^x(2+2^x)=80$ ; e poi ? mi perdo in un bicchier d'acqua ?
per favore non risolvetelo , datemi solo un suggerimento , grazie mille
ps: x=3
ho risolto , grazie e scusate il disturbo
ho questo esercizio ... non chiedo di risolverlo . intanto ve lo mostro :
$(2^(1/2x-1)+2^(2-1/2x)+4)/(2^(3-1/2x)+2^(1/2x-1))
sul libro è esattamente scritto come io l'ho riportato ; non c'e' = 0
come soluzioni da $[4 ; (2(log20-log3))/log2]$
la mia domanda è : se sostituisco 4 ad x ottengo $7/4$ ? e se sì , che cavolo mi rappresenta ??
$(2^(1/2x-1)+2^(2-1/2x)+4)/(2^(3-1/2x)+2^(1/2x-1))
sul libro è esattamente scritto come io l'ho riportato ; non c'e' = 0
come soluzioni da $[4 ; (2(log20-log3))/log2]$
la mia domanda è : se sostituisco 4 ad x ottengo $7/4$ ? e se sì , che cavolo mi rappresenta ??
Non ne ho idea, ho le tue stesse perplessità.
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