Eq. esponenziali e logaritmiche
ho questo problema con il testo cui faccio riferimento : si tratta credo di un errore di testo , ma tuttavia , essendo quello in esame un argomento per me nuovo , preferisco chiedere
si tratta della semplificazione di un logaritmo
$log_5(x+1)^2 = 2log_5|x+1|$ ; fino a qui nessuno problema . il valore assoluto è giustificato dalla condizione posta dal libro in premessa , cui nella trattazione delle funzioni logaritmiche si farà riferimento al caso generale $x=log_ab<=>a^x=b$ dove $a>0 , a!=1$
il problema sorge quando il testo apre il sistema
$\{(2log_5(x+1) ; x+1>0=>x> -1),(2log_5(1-x) ; x+1<0=>x<-1):}$
domanda : è un errore di testo il $(1-x)$ o c'è qualche regola che il testo si dimentica di chiarire ? uso un "bignamino" dell'alphatest . non dovrebbe esserci un $(-1-x)$ ?
si tratta della semplificazione di un logaritmo
$log_5(x+1)^2 = 2log_5|x+1|$ ; fino a qui nessuno problema . il valore assoluto è giustificato dalla condizione posta dal libro in premessa , cui nella trattazione delle funzioni logaritmiche si farà riferimento al caso generale $x=log_ab<=>a^x=b$ dove $a>0 , a!=1$
il problema sorge quando il testo apre il sistema
$\{(2log_5(x+1) ; x+1>0=>x> -1),(2log_5(1-x) ; x+1<0=>x<-1):}$
domanda : è un errore di testo il $(1-x)$ o c'è qualche regola che il testo si dimentica di chiarire ? uso un "bignamino" dell'alphatest . non dovrebbe esserci un $(-1-x)$ ?
Risposte
purtroppo sono ancora all'algebra ...
ho un piccolo dubbio che vorrei cancellare
$5^(x-1)+sqrt(25^x+1)=7^x$ dopo qualche semplificazione giungo a $5^x*(1/5+5)=7^x$
applico i logaritmi e mi vien fuori $xlog5+log(26/5)=xlog7$
raccolgo le x $x(log5-log7)=-log(26/5)$
$-log(26/5)$ non è di moda ; inverto il modulo (si chiama così?) in virtù del segno meno davanti alla funzione log ed ottengo $x(log5-log7)=log(5/26)$ a questo punto prima di ricavare la x non mi è chiaro come sia possibile tirar fuori da questo $log(5/26)$ , questo $log5-log26$ ... applico al logaritmo un altro logaritmo ? che tipo di proprietà è questa ?
ho un piccolo dubbio che vorrei cancellare
$5^(x-1)+sqrt(25^x+1)=7^x$ dopo qualche semplificazione giungo a $5^x*(1/5+5)=7^x$
applico i logaritmi e mi vien fuori $xlog5+log(26/5)=xlog7$
raccolgo le x $x(log5-log7)=-log(26/5)$
$-log(26/5)$ non è di moda ; inverto il modulo (si chiama così?) in virtù del segno meno davanti alla funzione log ed ottengo $x(log5-log7)=log(5/26)$ a questo punto prima di ricavare la x non mi è chiaro come sia possibile tirar fuori da questo $log(5/26)$ , questo $log5-log26$ ... applico al logaritmo un altro logaritmo ? che tipo di proprietà è questa ?
come non detto ... ho detto una cavolata !
chiedo scusa !
chiedo scusa !
ho questa eq.
$1/2log(ax-2a+1)=log(x-1)$
impongo $x>=1$ e $ax-2a+1>=0$ che diventa $x>=(2a-1)/a$ e quindi $x>=2-1/a$ scrivo così perchè voglio fare una domanda in merito a questa C.E.
dopo aver risolto tutta l'equazione ottengo due soluzioni che devo verificare , e cioè $x_1=2$ e $x_2=a$
il libro le da buone entrambe , ma io , come faccio a capire che se $x=a$ soddisfo $x>=2-1/a$ ??
scusate la banalità , e grazie mille per l'attenzione
$1/2log(ax-2a+1)=log(x-1)$
impongo $x>=1$ e $ax-2a+1>=0$ che diventa $x>=(2a-1)/a$ e quindi $x>=2-1/a$ scrivo così perchè voglio fare una domanda in merito a questa C.E.
dopo aver risolto tutta l'equazione ottengo due soluzioni che devo verificare , e cioè $x_1=2$ e $x_2=a$
il libro le da buone entrambe , ma io , come faccio a capire che se $x=a$ soddisfo $x>=2-1/a$ ??
scusate la banalità , e grazie mille per l'attenzione
Correzioni
1) C.E. $x>1$ e $ax-2a+1>0$ senza l'uguale
2) risolvendo la disequazione $ax-2a+1>0$ poiché non conosci il valore di a, che potrebbe essere negativo, non puoi dividere per a e lasci la disequazione così com'è.
3) hai ottenuto le soluzioni $x_1=2$ e $x_2=a$, la prima è accettabile, per la seconda andiamo a verificare o direttamente nell'equazione o nelle disequazioni, suppongo che una verifica diretta nell'equazione tu la sappia fare, vediamo quella indiretta nelle disequazioni, ottenibile sostituendo la x con la sua soluzione nelle disequazioni
$\{(a>1),(a^2-2a+1>0):}$ che ammette come soluzione $a>1$, quindi la seconda soluzione è accettabile solo se $a>1$.
1) C.E. $x>1$ e $ax-2a+1>0$ senza l'uguale
2) risolvendo la disequazione $ax-2a+1>0$ poiché non conosci il valore di a, che potrebbe essere negativo, non puoi dividere per a e lasci la disequazione così com'è.
3) hai ottenuto le soluzioni $x_1=2$ e $x_2=a$, la prima è accettabile, per la seconda andiamo a verificare o direttamente nell'equazione o nelle disequazioni, suppongo che una verifica diretta nell'equazione tu la sappia fare, vediamo quella indiretta nelle disequazioni, ottenibile sostituendo la x con la sua soluzione nelle disequazioni
$\{(a>1),(a^2-2a+1>0):}$ che ammette come soluzione $a>1$, quindi la seconda soluzione è accettabile solo se $a>1$.
"@melia":
hai ottenuto le soluzioni $x_1=2$ e $x_2=a$, la prima è accettabile, per la seconda andiamo a verificare o direttamente nell'equazione o nelle disequazioni, suppongo che una verifica diretta nell'equazione tu la sappia fare
per verifica diretta nell'equazione cosa intendi ?
"stefano.c":
per verifica diretta nell'equazione cosa intendi ?
Sostituire la soluzione al posto della x nell'equazione e vedere se è verificata.
Nel caso $1/2*lg(ax-2a+1)=lg(x-1)$ diventa $1/2*lg(a^2-2a+1)=lg(a-1) => 1/2*lg(a-1)^2=lg(a-1) => lg|a-1|=lg(a-1)$ che è verificata per ogni $a>1$
ho questo esercizio
$logx+2/logx=3$ ; C.E ${(x>0),(x!=1):}$
$(logx)^2+2=3logx$ ; $(logx)^2-3logx+2=0$ ; pongo $Logx=t => t^2-3t+2$ ; $t_(1,2)={(t_1=1),(t_2=2):}$
per $t_1$ ho $x=10^1=10$
per $t_2$ ho $x=10^2=100$
il testo le da entrambe accettabili ; se però sostituisco $t_1=10$ ottengo
$[(10)^2]*100=1000$ impossibile
sbaglio io nel considerare $(logx)^2=(10)^2$ ?
grazie @melia per l'aiuto del post precedente
$logx+2/logx=3$ ; C.E ${(x>0),(x!=1):}$
$(logx)^2+2=3logx$ ; $(logx)^2-3logx+2=0$ ; pongo $Logx=t => t^2-3t+2$ ; $t_(1,2)={(t_1=1),(t_2=2):}$
per $t_1$ ho $x=10^1=10$
per $t_2$ ho $x=10^2=100$
il testo le da entrambe accettabili ; se però sostituisco $t_1=10$ ottengo
$[(10)^2]*100=1000$ impossibile
sbaglio io nel considerare $(logx)^2=(10)^2$ ?
grazie @melia per l'aiuto del post precedente
Ovviamente si parla di logaritmi in base 10.
allora il $log10=1$
Quindi sostituendo hai $1^2+2=3*1$ e mi pare proprio che sia verificata.
allora il $log10=1$
Quindi sostituendo hai $1^2+2=3*1$ e mi pare proprio che sia verificata.
ops ...
Grazie mille
Grazie mille
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