Ellisse passante per 2 punti con eccentricità imposta

[DarkSean]

Ciao a tutti, Devo risolvere un problema riscontrato durante la realizzazione di un progetto personale. In pratica devo trovare l'equazione di un'ellisse passante per 2 punti (I punti si trovano nel primo quadrante. Un punto A con coordinate $ x_A,y_A $ e un punto B con coordinate $ x_B>x_A,y_B Dati 2 Punti A e B, l'eccentricità $ e $ dell'ellisse e possibilità del centro dell'ellisse di scivolare lungo l'asse Y; mi interessa sapere i valori di $a, b$ e la coordinata $ Y_C $ del centro in funzione delle coordinate dei punti A a B e dell'eccentricità imposta.
Spero nell'aiuto di qualcuno perché è da giorni che provo a risolvere sistemi ma mi blocco coi calcoli, grazie in anticipo

[@melia]

Domanda: gli assi dell'ellisse sono paralleli agli assi cartesiani?

[DarkSean]

Sì, non c'è né rotazione né altra trasformazione geometrica. Ah dimenticavo, i fuochi possono essere sia sull'asse y che paralleli all'asse x, ma per semplificare consideriamo $ a $ come semiasse maggiore

[@melia]

Per non impantanarti nei calcoli ti conviene fare un cambio di variabili, chiamando $1/a^2=u$ e $1/b^2=v$
l'equazione $(x^2)/(a^2)+((y-y_c)^2)/(b^2)=1$ diventa $ux^2+v(y-y_c)^2=1$, mentre l'eccentricità $e=c/a$ ovvero $e^2=(a^2-b^2)/a^2$ che, con un po' di passaggi diventa $u/v=1-e^2$.
Il sistema adesso dovrebbe essere molto più semplice
$\{(u=(1-e^2)v),(ux_A^2+v(y_A-y_c)^2=1),(ux_B^2+v(y_B-y_c)^2=1):}$