Ellisse ed iperbole

[Incentiveman]

Ciao a tutti, ripassando le coniche è sorto un problema nel discriminare se qualsiasi $ax^2 + by^2 +cx+dy+e=0$ sia un'iperbole o un ellisse.
L'unico metodo dovrebbe essere quello dell'eccentricità $e= c/a$ che riconducendolo alle formule per trovare c viene: $e=(sqrt(a^2-b^2))/(a)$ per l'ellisse ed $e=sqrt((a^2)+(b^2))/(a)$ per l'iperbole.
La domanda è molto semplice, non esiste un'altro metodo discriminante vero?(a parte disegnarli)

[@melia]

Il metodo discriminante è il calcolo del discriminante della componente di secondo grado.
Se $-ab>0$ iperbole, eventualmente degenere (due rette secanti)
Se $-ab<0$ ellisse. eventualmente degenere (un punto) o immaginaria
Se $-ab=0$ parabola, eventualmente degenere (due rette parallele)

[Incentiveman]

Grazie mille @melia ma questi metodi da dove li hai tirati fuori? nel senso per l'eccentricità è ovvio il significato $-ab$ ha un significato geometrico invece?

[byob12]

"Incentiveman":Grazie mille @melia ma questi metodi da dove li hai tirati fuori? nel senso per l'eccentricità è ovvio il significato $-ab$ ha un significato geometrico invece?

una conica in generale ha equazione: $ax^2+\lambdaxy+by^2+cx+dy+e=0$
quando calcoli: $\Delta=\lambda^2-4ab$ puoi avere 3 casi:${(ax^2+\lambdaxy+by^2=(\alphax+\betay)(\gammax+\deltay),if \Delta>0),(ax^2+\lambdaxy+by^2=(sqrt(a)x+-sqrt(b)y)^2,if \Delta=0),(ax^2+\lambdaxy+by^2 text{non scomponibile},if \Delta<0):}$

detto molto alla buona, se il polinomio $ax^2+\lambdaxy+by^2$ è scomponibile (cioe se $\Delta>=0$) si ottengono le direzioni lungo le quali la conica va all'infinito
se $\Delta>0$ hai un'iperbole e le 2 rette $\{(\alphax+\betay=0),(\gammax+\deltay=0):}$ indicano le direzioni dei 2 asintoti
se $\Delta=0$ hai una parabola e $sqrt(a)x+-sqrt(b)y=0$ è la direzione dell'asse della parabola
se $\Delta<0$ hai un'ellisse che è una conica limitata nel piano e quindi non va all'infinito


quello che ti ha scritto @melia è la versione semplificata di quanto ti ho scritto
è semplificata in quanto è adattata al tuo caso (hai $\lambda=0$) e i 3 casi si riducano esattamente a quanto ti ha scritto lei.


altre cose che potrebbero esserti di interesse:
quindi per classificare una conica ti basta guardare i coefficienti dei termini di 2° grado
se $c!=0$ $vv$ $d!=0$ allora la conica non è in forma canonica, ma è traslata
se $\lambda!=0$ allora la conica non è in forma canonica, ma è ruotata

[Incentiveman]

Ok grazie mille, in effetti nella mia equazione mancava il terzo termine al quadrato ci devo stare più attento...