Ellisse
Ciao a tutti sono alle prese con degli esercizi riguardanti l'ellisse, purtroppo non riesco a svolgerli.
Il primo è: "Data l'ellisse di equazione [tex]\epsilon[/tex]: [tex]x^2+4y^2=4[/tex] determinare
a. l'equazione della simmetrica [tex]\epsilon'[/tex] di [tex]\epsilon[/tex] rispetto alla retta y=x.
b. le coordinate dei punti di intersezione di [tex]\epsilon[/tex] e [tex]\epsilon'[/tex].
c. le equazioni tangenti comuni alle due ellissi.
Già nel primo problema non riesco a capire che cosa intenda con "equazione della simmetrica rispetto alla retta y=x.
Per quanto riguarda il secondo problema ho fatto il sistema e sono riuscito a svolgerlo ma nel terzo non riesco a capire come dovrei impostare, ho quattro punti di intersezione, ho provato a usare la formula [tex]\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1[/tex] ma devo aver sbagliato qualcosa.
Per favore datemi un consiglio, grazie.
Il primo è: "Data l'ellisse di equazione [tex]\epsilon[/tex]: [tex]x^2+4y^2=4[/tex] determinare
a. l'equazione della simmetrica [tex]\epsilon'[/tex] di [tex]\epsilon[/tex] rispetto alla retta y=x.
b. le coordinate dei punti di intersezione di [tex]\epsilon[/tex] e [tex]\epsilon'[/tex].
c. le equazioni tangenti comuni alle due ellissi.
Già nel primo problema non riesco a capire che cosa intenda con "equazione della simmetrica rispetto alla retta y=x.
Per quanto riguarda il secondo problema ho fatto il sistema e sono riuscito a svolgerlo ma nel terzo non riesco a capire come dovrei impostare, ho quattro punti di intersezione, ho provato a usare la formula [tex]\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1[/tex] ma devo aver sbagliato qualcosa.
Per favore datemi un consiglio, grazie.
Risposte
"nicolaflute":
a. L'equazione della simmetrica [tex]\epsilon'[/tex] di [tex]\epsilon[/tex] rispetto alla retta y=x.
Devi semplicemente scambiare la $[x]$ con la $[y]$: $[x^2+4y^2=4] rarr [4x^2+y^2=4]$
"nicolaflute":
c. Le equazioni delle tangenti comuni alle due ellissi.
Se procedi per forza bruta:
$\{(x^2+4y^2=4),(y=mx+q):} ^^ [Delta_epsilon(m.q)=0]$
$\{(4x^2+y^2=4),(y=mx+q):} ^^ [Delta_(epsilon')(m.q)=0]$
Infine:
$\{(Delta_epsilon(m.q)=0),(Delta_(epsilon')(m.q)=0):}$
Buon lavoro.
Il metodo lo conoscevo anche io ma non riesco a capire come dovrei usarlo in questo caso :-/
Prendi, per esempio, il primo sistema:
$\{(x^2+4y^2=4),(y=mx+q):} rarr \{(x^2+4(mx+q)^2=4),(y=mx+q):}$
Se ora consideri la prima equazione nell'incognita $[x]$, il suo $[Delta_epsilon]$ dipende dai parametri $[m]$ e $[q]$. La condizione di tangenza è $[Delta_epsilon(m.q)=0]$. Lo stesso dicasi per il secondo sistema. Alla fine, si tratta di imporre simultaneamente le due condizioni di tangenza:
$\{(Delta_epsilon(m.q)=0),(Delta_(epsilon')(m.q)=0):}$
e risolvere quest'ultimo. Ancora una volta, buon lavoro.
$\{(x^2+4y^2=4),(y=mx+q):} rarr \{(x^2+4(mx+q)^2=4),(y=mx+q):}$
Se ora consideri la prima equazione nell'incognita $[x]$, il suo $[Delta_epsilon]$ dipende dai parametri $[m]$ e $[q]$. La condizione di tangenza è $[Delta_epsilon(m.q)=0]$. Lo stesso dicasi per il secondo sistema. Alla fine, si tratta di imporre simultaneamente le due condizioni di tangenza:
$\{(Delta_epsilon(m.q)=0),(Delta_(epsilon')(m.q)=0):}$
e risolvere quest'ultimo. Ancora una volta, buon lavoro.
Come sempre la mia poca precisione fa dilungare le discussioni; allora, io sono uno studente di 4° liceo e sinceramente non so neanche cosa vuol dire [tex]\Delta_\epsilon(m.q)=0[/tex]. Inoltre se svolgo i calcoli nel sistema come faccio a ottenere il valore di m se c'è anche q da trovare?
$\{(x^2+4y^2=4),(y=mx+q):} rarr \{(x^2+4(mx+q)^2=4),(y=mx+q):} rarr \{((4m^2+1)x^2+8mqx+4q^2-4=0),(y=mx+q):}$
$[(Delta_epsilon(m.q))/4=16m^2q^2-(4q^2-4)(4m^2+1)=4(4m^2-q^2+1)]$
Quindi, la prima condizione di tangenza risulta essere:
$[4(4m^2-q^2+1)=0] rarr [4m^2-q^2+1=0]$
Se ripeti lo stesso procedimento con il secondo sistema, otterrai una seconda equazione contenente i parametri $[m]$ e $[q]$. Alla fine, si tratta di risolvere il sistema che si ottiene imponendo simultaneamente le due condizioni di tangenza. Per la terza volta, e secondo proverbio, buon lavoro.
$[(Delta_epsilon(m.q))/4=16m^2q^2-(4q^2-4)(4m^2+1)=4(4m^2-q^2+1)]$
Quindi, la prima condizione di tangenza risulta essere:
$[4(4m^2-q^2+1)=0] rarr [4m^2-q^2+1=0]$
Se ripeti lo stesso procedimento con il secondo sistema, otterrai una seconda equazione contenente i parametri $[m]$ e $[q]$. Alla fine, si tratta di risolvere il sistema che si ottiene imponendo simultaneamente le due condizioni di tangenza. Per la terza volta, e secondo proverbio, buon lavoro.
Ah, ecco, se avessi riflettuto meglio forse avrei capito :-/, grazie mille per il consiglio e soprattutto per la pazienza! 
Prego. 
Alla fine mi dà m=0 e q=[tex]\pm2[/tex]. Purtroppo è sbagliato, anche a te (sempre se posso dare del tu) dà questo risultato?.
Per il tu non è un problema. Per il resto:
$\{(4x^2+y^2=4),(y=mx+q):} rarr \{(4x^2+(mx+q)^2=4),(y=mx+q):} rarr \{((m^2+4)x^2+2mqx+q^2-4=0),(y=mx+q):}$
$[(Delta_(epsilon')(m.q))/4=m^2q^2-(q^2-4)(m^2+4)=4(m^2-q^2+4)]$
$[4(m^2-q^2+4)=0] rarr [m^2-q^2+4=0]$
Questo è il sistema finale:
$\{(4m^2-q^2+1=0),(m^2-q^2+4=0):} rarr \{(m=1),(q=+-sqrt5):} vv \{(m=-1),(q=+-sqrt5):}$
A saperlo prima, l'avrei augurato a me stesso.
$\{(4x^2+y^2=4),(y=mx+q):} rarr \{(4x^2+(mx+q)^2=4),(y=mx+q):} rarr \{((m^2+4)x^2+2mqx+q^2-4=0),(y=mx+q):}$
$[(Delta_(epsilon')(m.q))/4=m^2q^2-(q^2-4)(m^2+4)=4(m^2-q^2+4)]$
$[4(m^2-q^2+4)=0] rarr [m^2-q^2+4=0]$
Questo è il sistema finale:
$\{(4m^2-q^2+1=0),(m^2-q^2+4=0):} rarr \{(m=1),(q=+-sqrt5):} vv \{(m=-1),(q=+-sqrt5):}$
"speculor":
Buon lavoro.
A saperlo prima, l'avrei augurato a me stesso.
Grazie mille ancora, credo di essere molto stanco in questo periodo :-/
@nicolaflute: Ti suggerisco un'altra soluzione
\(\displaystyle (x_1,y_1)\) punto di contatto di una tangente comune con l'ellisse \( x^2+4y^2=4\) [1]
\(\displaystyle (x_2,y_2)\) punto di contatto di una tangente comune con l'ellisse \(4 x^2+y^2=4\)[2]
L'equazione della tangente comune si può esprimere in due modi:
\( \displaystyle x_1x+4y_1y=4\) [3]
\( \displaystyle 4x_1+y_2y=4\) [4]
[3] e [4] sono la stessa retta quindi:
\( \displaystyle \frac{x_1}{4x_2}=\frac{4y_1}{y_2}=1\)
da cui \( \displaystyle x_2=\frac{x_1}{4}, y_2=4y_1\)
\( \displaystyle x_1^2+4y_1^2=4\) [5]
\( \displaystyle 4x_2^2+y_2^2=4\)
\( \displaystyle \frac{x_1^2}{4}+16y_1^2=4\) [6]
Dalle [5] e [6] ricavi subilto:
\( \displaystyle x_1=\pm \frac{4}{\sqrt{5}}, y_1=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\)
sostituendo nella [3] trovi subito le quattro equazione delle tangenti comuni:
\(\displaystyle \pm x\pm y=\sqrt{5}\)
\(\displaystyle (x_1,y_1)\) punto di contatto di una tangente comune con l'ellisse \( x^2+4y^2=4\) [1]
\(\displaystyle (x_2,y_2)\) punto di contatto di una tangente comune con l'ellisse \(4 x^2+y^2=4\)[2]
L'equazione della tangente comune si può esprimere in due modi:
\( \displaystyle x_1x+4y_1y=4\) [3]
\( \displaystyle 4x_1+y_2y=4\) [4]
[3] e [4] sono la stessa retta quindi:
\( \displaystyle \frac{x_1}{4x_2}=\frac{4y_1}{y_2}=1\)
da cui \( \displaystyle x_2=\frac{x_1}{4}, y_2=4y_1\)
\( \displaystyle x_1^2+4y_1^2=4\) [5]
\( \displaystyle 4x_2^2+y_2^2=4\)
\( \displaystyle \frac{x_1^2}{4}+16y_1^2=4\) [6]
Dalle [5] e [6] ricavi subilto:
\( \displaystyle x_1=\pm \frac{4}{\sqrt{5}}, y_1=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\)
sostituendo nella [3] trovi subito le quattro equazione delle tangenti comuni:
\(\displaystyle \pm x\pm y=\sqrt{5}\)
Certamente più elegante della mia forza bruta.
Non mi sarei offeso senza questa premessa. Complimenti anche per la sensibilità dimostrata.
"totissimus":
@nicolaflute...
Non mi sarei offeso senza questa premessa. Complimenti anche per la sensibilità dimostrata.
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