Ellisse (55088)

[pelli92]

retta: x alla seconda + 4 y alla seconda = 9, tangente nel punto P (1;radice di 2)...come si fa???

Aggiunto 22 minuti più tardi:

si esatto!

Aggiunto 1 minuti più tardi:

# BIT5 :
Scusami, ma non capisco.

Devi trovare l'equazione della retta tangente a

[math] x^2+4y^2=9 [/math]

nel punto

[math] P (1, \sqrt2 ) [/math]

?

no scusaaa xD devo trovare l equazione dell ellisse tangente alla retta data e che passa per il punto P

Aggiunto 26 minuti più tardi:

ti scrivo il problema forse facciamo prima :)

trovare l'equazione della tangente all'ellisse di equazione x alla 2 + 4 y alla 2 =9 nel suo punto P (1;radice di 2).

[BIT5]

Scusami, ma non capisco.

Devi trovare l'equazione della retta tangente a

[math] x^2+4y^2=9 [/math]

nel punto

[math] P (1, \sqrt2 ) [/math]

?

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Ma guarda che

[math] x^2+4y^2=9 [/math]

non e' una retta, ma un'ellisse!

Aggiunto 47 secondi più tardi:

(e comunque se tu avessi una retta a disposizione (non e' questo il caso) e un punto, le ellissi tangenti sarebbero infinite...)

Aggiunto 1 ore 25 minuti più tardi:

Ecco.

quindi devi trovare l'equazione DELLA RETTA tangente all'ellisse x^2+4y^2=9

L'ellisse dunque e'

[math] x^2+4y^2=9 \to \frac{x^2}{9} + \frac49y^2 = 1 [/math]

Con

[math] a^2=9 \\ b^2= \frac94 [/math]

Dal punto P passano infinite rette.

Ricordando che detto P un punto generico di coordinate

[math] x_P,y_P [/math]

, il fascio di rette di centro P e' dato dalla formula

[math] y-y_P=m(x-x_P) [/math]

Avremo che il punto P dell'esercizio genera il fascio

[math]y- \sqrt2=m(x-1) \to y=mx-m+ \sqrt2 [/math]

I punti di intersezione tra il fascio e l'ellisse saranno la soluzione del sistema

[math] \{y=mx-m+ \sqrt2 \\ x^2+4y^2=9 [/math]

Sostituiamo alla y dell'ellisse, il valore della prima equazione

[math] x^2+4(mx-m+ \sqrt2)^2=9 [/math]

Eleviamo al quadrato il trinomio

[math] x^2+4(m^2x^2+m^2+2-2m^2x-2 \sqrt2 m + 2 \sqrt2mx)=9 [/math]

moltiplichiamo

[math] x^2+4m^2x^2+4m^2+8-8m^2x-8 \sqrt2 m +8 \sqrt2mx = 9 [/math]

Ordiniamo secondo le potenze di x (portiamo il 9 a sinistra)

[math] x^2+4m^2x^2-8m^2x+8 \sqrt2 mx + 4m^2+8-8 \sqrt2m-9=0 [/math]

Raccogliamo secondo le potenze di x

[math] (1+4m^2)x^2+2(-4m^2+4 \sqrt2 m)x+4m^2-8 \sqrt2m-1=0 [/math]

(ho isolato il 2 in modo che il coefficiente di x sia pari per usare la ridotta)

A questo punto sappiamo che le soluzioni dell'equazione di secondo grado ci danno le ascisse dei generici punti di intersezione tra la retta e l'ellisse.

Dal momento che vogliamo la retta tangente, i punti di intersezione tra retta ed ellisse dovranno coincidere, e quindi le soluzioni dell'equazione di secondo grado dovranno coincidere, ovvero il delta dovra' essere nullo.

Calcoliamo il Delta/4

[math] (-4m^2+4 \sqrt2m)^2-(1+4m^2)(4m^2-8 \sqrt2m-1)=0 [/math]

Ovvero facendo i conti

[math] 16m^4+32m^2-32 \sqrt2 m^3 - (4m^2-8 \sqrt2m-1+16m^4-32 \sqrt2m^3-4m^2) = 0 [/math]

[math] 16m^4+32m^2-32 \sqrt2 m^3-4m^2+8 \sqrt2 m + 1 - 16m^4+32 \sqrt2 m^3+4m^2=0 [/math]

[math] 32m^2+8 \sqrt2 m + 1 =0 [/math]

Come puoi notare, 32 e' il quadrato di radice di 32

[math] 32=16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2 [/math]

Pertanto

[math] \sqrt{32} = 4 \sqrt2 [/math]

e se noti il secondo termine e' il doppio prodotto di 4 radice 2

dunque possiamo ricondurre il trinomio ad un quadrato perfetto

[math] (4 \sqrt2 m + 1 )^2=0 \to 4 \sqrt2 m = -1 \to m=- \frac{1}{4 \sqrt2} [/math]

che razionalizzato dara'

[math] m=- \frac{\sqrt2}{4 \sqrt2 \sqrt2} = - \frac{\sqrt2}{8} [/math]

Se non avessi riconosciuto il quadrato del binomio, con la formula avresti trovato lo stesso risultato.

Un consiglio/accorgimento

Quando ti capitano problemi di questo tipo, se il punto appartiene alla curva (come in questo caso) troverai SEMPRE un solo valore del parametro. Infatti se il punto appartiene alla curva, le rette tangenti passanti per quel punto sono sempre una sola (fa eccezione l'iperbole)

Invece se il punto non appartiene alla curva, allora puoi trovare il caso in cui le tangenti sono una, due o nessuna.