Ellisse
1)I punti di intersezione dell'ellisse x^2/a^2+y^2/b^2=1 con le rette x+2y-5=0 e x-2y-5=0 determinano un trapezio isoscele avente la base maggiore doppia della minore e area di misura 6; scrivere l'equazione dell'ellisse e calcolare la lunghezza del perimetro del rettangolo individuato dai punti di intersezione dell'ellisse con la circonferenza x^2+y^2=45/4.
2)L'ellisse di equazione x^2/a^2+y^2/b^2=1 passa per il punto A(6;3) e per il punto B della retta y=-8/9x di ordinata 4. Verificare che essa passa anche per il punto C(-36/5;7/5). Determinare il punto di incontro delle due tangenti all'ellisse nei punti B e C e poi il punto comune alle tangenti in A e B.
3)Una retta parallela alla retta 3x+4y=0 è tangente nel punto A del I quadrante alla circonferenza di equazione x^2+y^2=25/9; scrivere l'equazione dell'ellisse x^2/a^2+y^2/b^2=1 sapendo che passa per il punto A e che in A è tangente alla retta x+6y-9=0.
Confido sempre nel vostro aiuto, grazie.
2)L'ellisse di equazione x^2/a^2+y^2/b^2=1 passa per il punto A(6;3) e per il punto B della retta y=-8/9x di ordinata 4. Verificare che essa passa anche per il punto C(-36/5;7/5). Determinare il punto di incontro delle due tangenti all'ellisse nei punti B e C e poi il punto comune alle tangenti in A e B.
3)Una retta parallela alla retta 3x+4y=0 è tangente nel punto A del I quadrante alla circonferenza di equazione x^2+y^2=25/9; scrivere l'equazione dell'ellisse x^2/a^2+y^2/b^2=1 sapendo che passa per il punto A e che in A è tangente alla retta x+6y-9=0.
Confido sempre nel vostro aiuto, grazie.
Risposte
Ciao! Questi sono i procedimenti dei problemi, in modo un po' sintetico, ma spero chiaro:
1) poni a sistema le rette con la curva di equazione parametrica x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ed otterrai 4 punti le cui coordinate saranno sempre in forma parametrica. Per capire meglio, disegna un'ellisse qualsiasi e le due rette date e vedrai che si incontrano in punti facenti parte di due rette parallele all'asse x (estremi della base minore e della maggiore). L'altezza è uguale alla differenza delle ordinate, non c'è bisogno di applicare la formula "distanza tra due punti". Sai che la base maggiore è doppia della minore, allora usa un'equazione in un'incognita (la base minore) con la formula dell'area uguale a 6, ponendo base maggiore = 2 volte base minore. Così ti troverai b, poi per trovare a sfrutta sempre le relazioni che hai impostato. L'equazione della curva, facendo i calcoli, è 3x^2 + 8y^2 = 35. Per il perimetro del rettangolo, basta porre a sistema l'ellisse appena trovata e la circonferenza, trovare i quattro punti e calcolare il perimetro, che misura 4sqrt11 + 2.
2) il punto B ha ascissa -9/2. Imponi il passaggio per i due punti usando un sistema di due incognite e risolvendolo con artifici (cioè 1/a^2 = t e 1/b^2 = z). Trovata la curva, per verificare che anche C vi appartiene, basta sostituirne le coordinate nell'equazione dell'ellisse e verificare quindi l'identità che si viene così a creare. Determina le tangenti nei tre punti A, B e C con la formula di sdoppiamento:
x*x0/a^2 + y*y0/b^2 =1
dove x0 e y0 sono le coordinate del punto di tangenza, in modo tale che la retta si possa trovare istantaneamente. Ti sarà utile applicare tale formula anche in seguito, quando studierai le iperboli. Applicala a tutti e tre i punti, poi per trovare i punti comuni metti a sistema le rette tangenti nei rispettivi punti. Fine del secondo problema.
3) il coefficiente angolare è -3/4, quindi in forma parametrica l'equazione della retta sarà y = -3/4x + q. Imponi distanza punto-retta = raggio per trovare q. Ora calcola il punto di tangenza mettendo a sistema retta e circonferenza. Per l'ellisse, basta sfruttare il fatto che conosci il punto di tangenza alla retta x+6y-9=0 allora usa la formula di sdoppiamento all'inverso. Cioè, uguaglia i coefficienti della retta in forma parametrica che troverai con la formula di sdoppiamento rispettivamente a 1 e 6, in modo tale da trovare subito a^2 e b^2. L'equazione della curva è 2x^2 + 9y^2 = 18.
Se non hai capito i procedimenti inviami una e-mail ed io ti rispedirò gli esercizi con tanto di calcoli e spiegazioni.
ciao
Modificato da - fireball il 01/05/2003 23:04:53
1) poni a sistema le rette con la curva di equazione parametrica x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ed otterrai 4 punti le cui coordinate saranno sempre in forma parametrica. Per capire meglio, disegna un'ellisse qualsiasi e le due rette date e vedrai che si incontrano in punti facenti parte di due rette parallele all'asse x (estremi della base minore e della maggiore). L'altezza è uguale alla differenza delle ordinate, non c'è bisogno di applicare la formula "distanza tra due punti". Sai che la base maggiore è doppia della minore, allora usa un'equazione in un'incognita (la base minore) con la formula dell'area uguale a 6, ponendo base maggiore = 2 volte base minore. Così ti troverai b, poi per trovare a sfrutta sempre le relazioni che hai impostato. L'equazione della curva, facendo i calcoli, è 3x^2 + 8y^2 = 35. Per il perimetro del rettangolo, basta porre a sistema l'ellisse appena trovata e la circonferenza, trovare i quattro punti e calcolare il perimetro, che misura 4sqrt11 + 2.
2) il punto B ha ascissa -9/2. Imponi il passaggio per i due punti usando un sistema di due incognite e risolvendolo con artifici (cioè 1/a^2 = t e 1/b^2 = z). Trovata la curva, per verificare che anche C vi appartiene, basta sostituirne le coordinate nell'equazione dell'ellisse e verificare quindi l'identità che si viene così a creare. Determina le tangenti nei tre punti A, B e C con la formula di sdoppiamento:
x*x0/a^2 + y*y0/b^2 =1
dove x0 e y0 sono le coordinate del punto di tangenza, in modo tale che la retta si possa trovare istantaneamente. Ti sarà utile applicare tale formula anche in seguito, quando studierai le iperboli. Applicala a tutti e tre i punti, poi per trovare i punti comuni metti a sistema le rette tangenti nei rispettivi punti. Fine del secondo problema.
3) il coefficiente angolare è -3/4, quindi in forma parametrica l'equazione della retta sarà y = -3/4x + q. Imponi distanza punto-retta = raggio per trovare q. Ora calcola il punto di tangenza mettendo a sistema retta e circonferenza. Per l'ellisse, basta sfruttare il fatto che conosci il punto di tangenza alla retta x+6y-9=0 allora usa la formula di sdoppiamento all'inverso. Cioè, uguaglia i coefficienti della retta in forma parametrica che troverai con la formula di sdoppiamento rispettivamente a 1 e 6, in modo tale da trovare subito a^2 e b^2. L'equazione della curva è 2x^2 + 9y^2 = 18.
Se non hai capito i procedimenti inviami una e-mail ed io ti rispedirò gli esercizi con tanto di calcoli e spiegazioni.
ciao
Modificato da - fireball il 01/05/2003 23:04:53
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