Elevamento al quadrato ambo i membri
Ciao a tutti !
Posto in questa sezione, anche se il problema riguarda un argomento più generale che non viene trattato alle superiori, ma qui mi limiterò ad una domanda molto specifica che non saprei dove altro collocare.
So bene che l'argomento è stato trattato allo sfinimento sul forum e che non è sempre lecito elevare al quadrato entrambi i membri di un'equazione in quanto si rischia di aggiungere soluzioni non presenti nella equazione di partenza. Premesso questo, volevo sapere perché, nel seguente caso, pare lecito:
Sia dato il seguente sistema di equazioni non lineari
Il sistema è tratto dall'analisi cinematica di un quadrilatero articolato, ma non credo importi ai fini della domanda. Sono noti tutti gli $r$ (positivi) e l'angolo di manovella $theta_1$. Ora, per risolvere questo sistema non lineare nelle incognite $theta_2$ e $theta_3$, il testo prosegue quadrando e sommando entrambe le equazioni, in modo da sfruttare la relazione fondamentale della trigonometria ed eliminare l'incognita $theta_2$. E da qui la mia domanda, già anticipata: perché in questo caso è lecito elevare al quadrato le due equazioni senza ulteriori condizioni ?
Chiedo scusa per la banalità della domanda e ringrazio, fin da ora, quanti risponderanno.
Saluti
Posto in questa sezione, anche se il problema riguarda un argomento più generale che non viene trattato alle superiori, ma qui mi limiterò ad una domanda molto specifica che non saprei dove altro collocare.
So bene che l'argomento è stato trattato allo sfinimento sul forum e che non è sempre lecito elevare al quadrato entrambi i membri di un'equazione in quanto si rischia di aggiungere soluzioni non presenti nella equazione di partenza. Premesso questo, volevo sapere perché, nel seguente caso, pare lecito:
Sia dato il seguente sistema di equazioni non lineari
${ ( r_2cos(theta_2)=r_4-r_1cos(theta_1)-r_3cos(theta_3) ),( r_2sin(theta_2)=-r_1sin(theta_1)-r_3sin(theta_3) ):}$
Il sistema è tratto dall'analisi cinematica di un quadrilatero articolato, ma non credo importi ai fini della domanda. Sono noti tutti gli $r$ (positivi) e l'angolo di manovella $theta_1$. Ora, per risolvere questo sistema non lineare nelle incognite $theta_2$ e $theta_3$, il testo prosegue quadrando e sommando entrambe le equazioni, in modo da sfruttare la relazione fondamentale della trigonometria ed eliminare l'incognita $theta_2$. E da qui la mia domanda, già anticipata: perché in questo caso è lecito elevare al quadrato le due equazioni senza ulteriori condizioni ?
Chiedo scusa per la banalità della domanda e ringrazio, fin da ora, quanti risponderanno.
Saluti
Risposte
Cioè, cosa fai di preciso? Come prosegui? Vorrei capire bene prima di dire qualcosa ... 
Non sono minimamente sicuro, anche perché non ci ho pensato troppo a lungo, e non ho troppo tempo in questo momento, ma a naso, se ho capito bene, ti direi che siccome il problema deriva da un problema fisico, probabilmente c'è una considerazione fisica che ti permette di essere certo che elevando entrambi i membri al quadro aggiungi soluzioni che non hanno senso all'interno del problema fisico, e da qui la legittimità nel fare questo tipo di operazione. Ma potrei sbagliarmi. Ad ogni modo in fisica non ti posso essere di aiuto.
In ogni caso aspetta qualcuno che ha più tempo e può rispondere in modo più attento alla tua domanda, però almeno nel frattempo ti ho dato uno spunto di riflessione e magari, se è il caso da me citato sopra, puoi già risponderti da solo.
In ogni caso aspetta qualcuno che ha più tempo e può rispondere in modo più attento alla tua domanda, però almeno nel frattempo ti ho dato uno spunto di riflessione e magari, se è il caso da me citato sopra, puoi già risponderti da solo.
Quando elevi al quadrato NON perdi soluzioni, eventualmente ne aggiungi. Mantenedo, comunque, le due equazioni non al quadrato, ovvero controllando le soluzioni ottenute nelle equazioni di partenza puoi escudere le soluzioni non consone e mantenere solo quelle corrette.
Per prima cosa grazie a tutti voi per aver risposto.
Anch'io credevo una cosa del genere, ma non mi sembra che da nessuna parte si faccia uso di queste considerazioni, ma potrei dire una stupidaggine.
@melia: si, eventualmente ne aggiungo di soluzioni ed infatti mi interessa proprio sapere come faccio ad essere sicuro di non aggiungerne in questo caso o di scartare quelle eventualmente aggiunte
@Alex: ecco tutto il problema. N.B. in questo caso invece di r ha usato l e gli angoli noti sono $theta_1=pi$ e $theta_2$ mentre quelli incogniti sono $theta_3$ e $theta_4$, ma non cambia nulla. Lo chiederei al mio prof, ma stando sotto esame mi è impossibile contattarlo.
Grazie ancora !
"3m0o":
Non sono minimamente sicuro, anche perché non ci ho pensato troppo a lungo, e non ho troppo tempo in questo momento, ma a naso, se ho capito bene, ti direi che siccome il problema deriva da un problema fisico, probabilmente c'è una considerazione fisica che ti permette di essere certo che elevando entrambi i membri al quadro aggiungi soluzioni che non hanno senso all'interno del problema fisico, e da qui la legittimità nel fare questo tipo di operazione.
Anch'io credevo una cosa del genere, ma non mi sembra che da nessuna parte si faccia uso di queste considerazioni, ma potrei dire una stupidaggine.
@melia: si, eventualmente ne aggiungo di soluzioni ed infatti mi interessa proprio sapere come faccio ad essere sicuro di non aggiungerne in questo caso o di scartare quelle eventualmente aggiunte
@Alex: ecco tutto il problema. N.B. in questo caso invece di r ha usato l e gli angoli noti sono $theta_1=pi$ e $theta_2$ mentre quelli incogniti sono $theta_3$ e $theta_4$, ma non cambia nulla. Lo chiederei al mio prof, ma stando sotto esame mi è impossibile contattarlo.
Grazie ancora !
L'impressione di un profano è che invece il problema "fisico" ti dà dei vincoli: i coseni sono tutti positivi e solo un seno è negativo quindi quando avrai le soluzioni saprai subito cosa, eventualmente, scartare.
IMHO
Cordialmente, Alex
IMHO
Cordialmente, Alex
Ciao di nuovo @Alex !
Capisco cosa vuoi dire, tuttavia quel sistema deve valere per ogni configurazione del quadrilatero, il quale si sta muovendo. Quindi sebbene nella figura sia rappresentato il caso specifico di quegli angoli con coseni positivi, il sistema deve valere in generale, per ogni posizione del quadrilatero, non solo per quella rappresentata](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Capisco cosa vuoi dire, tuttavia quel sistema deve valere per ogni configurazione del quadrilatero, il quale si sta muovendo. Quindi sebbene nella figura sia rappresentato il caso specifico di quegli angoli con coseni positivi, il sistema deve valere in generale, per ogni posizione del quadrilatero, non solo per quella rappresentata
Certamente, ma in ogni posizione tu sai qual è il segno delle funzioni trigonometriche ... comunque è solo un'idea buttata lì 
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