Due Problemini..
Ciao a tutti sono nuovo, e la mia prima domanda che posto su questo splendido forum :D..
Come si arriva alla formula della distanza di un punto a una retta in forma esplicita (l'implicita l'ho vista in un post in questo forum)?
questa:
Poi come mai l'equazione traslata dell'iperbole non funziona, anche se è quasi uguale a quella dell'ellisse, nella forma:
Il procedimento è da
Grazie mille a tutti!!!
Aggiunto 7 ore 27 minuti più tardi:
Grazie mille per la distanza, ho capito perfettamente, però nel procedimento della forma implicita non ho capito una cosa, come mai cb e ac cambiano di segno dopo il raccoglimento del a^2 e b^2 dalla parentesi con le potenze sotto radice?
Per il secondo le equazioni del ellisse e delle iperbole sono queste:
Ellisse:
Iperbole:
Praticamente cambia solo il segno, ora l'ellisse e l'iperbole in forma traslata sono:
Ellisse:
Svolgendo si arriva alla formula:
Lo stesso per le iperbole cambia solo il segno in mezzo, tracciando i grafici su un foglio, anche provando con il computer, in quello dell'ellisse non cambia da forma passante per l'origine e forma traslata, mentre per le iperbole riesco a tracciarlo correttamente solo passante per l'origine, nella forma traslata praticamente mi viene una linea o qualcosa di insignificante, da cosa è dato questo problema?
Aggiunto 21 minuti più tardi:
Risolto... cambiava segno perchè c'era - in mezzo a un termine senza frazione e uno con una frazione quindi è come se moltiplicassi il numeratore per -1.
Un alro problemino xD, scusatemi tanto.. da:
come si arriva a:
E' l'ultima domanda, scusatemi ancora...
Per l'iperbola il procedimento che ho fatto io è quello però mi viene tracciata un'altra forma con quell'equazione, è strano.. grazie mille del tuo aiuto :D.
Grande ho capito, considerando la razionalizzazione che hai detto, potrei fare così:
vedendo
semplificando:
Grazie mille finalmente ho risolto :D sei un genio.
E' fantastisco questo sito...
Come si arriva alla formula della distanza di un punto a una retta in forma esplicita (l'implicita l'ho vista in un post in questo forum)?
questa:
[math]\frac{|y-mx-q|}{sqrt{(1+m^2)}}[/math]
Poi come mai l'equazione traslata dell'iperbole non funziona, anche se è quasi uguale a quella dell'ellisse, nella forma:
[math]mx^2+ny^2+px+qy+r=0[/math]
Il procedimento è da
[math]\frac{(x-x0)^2}{a^2}-\frac{(y-y0)^2}{b^2}=1[/math]
come nel'ellisse, però mentre nell'ellisse riesco a tracciare il grafico, nell'iperbole in quel modo no, come mai?Grazie mille a tutti!!!
Aggiunto 7 ore 27 minuti più tardi:
Grazie mille per la distanza, ho capito perfettamente, però nel procedimento della forma implicita non ho capito una cosa, come mai cb e ac cambiano di segno dopo il raccoglimento del a^2 e b^2 dalla parentesi con le potenze sotto radice?
Per il secondo le equazioni del ellisse e delle iperbole sono queste:
Ellisse:
[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]
Iperbole:
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]
Praticamente cambia solo il segno, ora l'ellisse e l'iperbole in forma traslata sono:
Ellisse:
[math]\frac{(x-x0)^2}{a^2}+\frac{(y-y0)^2}{b^2}=1[/math]
Svolgendo si arriva alla formula:
[math]mx^2+ny^2+px+qy+r=0[/math]
Lo stesso per le iperbole cambia solo il segno in mezzo, tracciando i grafici su un foglio, anche provando con il computer, in quello dell'ellisse non cambia da forma passante per l'origine e forma traslata, mentre per le iperbole riesco a tracciarlo correttamente solo passante per l'origine, nella forma traslata praticamente mi viene una linea o qualcosa di insignificante, da cosa è dato questo problema?
Aggiunto 21 minuti più tardi:
Risolto... cambiava segno perchè c'era - in mezzo a un termine senza frazione e uno con una frazione quindi è come se moltiplicassi il numeratore per -1.
Un alro problemino xD, scusatemi tanto.. da:
[math]\frac{1}{(a^2+b^2)}|ax0+by0+c|sqrt{a^2+b^2}[/math]
come si arriva a:
[math]\frac{|ax0+by0+c|}{sqrt{a^2+b^2}}[/math]
E' l'ultima domanda, scusatemi ancora...
Per l'iperbola il procedimento che ho fatto io è quello però mi viene tracciata un'altra forma con quell'equazione, è strano.. grazie mille del tuo aiuto :D.
Grande ho capito, considerando la razionalizzazione che hai detto, potrei fare così:
vedendo
[math]a^2+b^2=sqrt{a^2+b^2}sqrt{a^2+b^2}=(sqrt{a^2+b^2})^2[/math]
[math]\frac{|ax0+by0+c|sqrt{a^2+b^2}}{(sqrt{a^2+b^2})^2}[/math]
semplificando:
[math]\frac{|ax0+by0+c|}{sqrt{a^2+b^2}[/math]
Grazie mille finalmente ho risolto :D sei un genio.
E' fantastisco questo sito...
Risposte
La distanza di una retta da un punto, data la retta in forma implicita e':
Trasformiamo la retta in forma esplicita:
Dove
Ritorniamo alla distanza e raccogliamo una b al numeratore e una b^2 al denominatore
Da cui
semplificando |b| otterremo, ordinando gli addendi e riscrivendo al posto di a/b=-m (per quanto detto sopra) e c/b=-q (perche' q=-c/b quindi -q=c/b )
E siccome
La seconda richiesta non l'ho capita, puoi spiegarti meglio?
Aggiunto 5 ore 21 minuti più tardi:
cambia il segno perche', dopo i passaggi ottieni
ma sappiamo che
Iperbole:
l'iperbole traslata sara'
Da cui
Ovvero
Da cui
Che e' riconducibile all'equazione di un'ellisse.
La differenza tra le due curve la fara' il Delta
se e' un'ellisse,
In verita' le coniche sono sempre espresse da un'equazione del tipo
Le coniche che si studiano (comprese quelle traslate) hanno sempre b=0
Determina il tipo di conica, l'equazione del delta
[math] b^2-4ac
[math] d= \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2} [/math]
Trasformiamo la retta in forma esplicita:
[math] ax+by+c=0 \to by=-ax-c \to y=- \frac{a}{b}x- \frac{c}{b} [/math]
Dove
[math] - \frac{a}{b} = m \\ \\ \\ - \frac{c}{b}=q [/math]
Ritorniamo alla distanza e raccogliamo una b al numeratore e una b^2 al denominatore
[math] d= \frac{|b \( \frac{a}{b} x + y + \frac{c}{b}\) |}{\sqrt{b^2 \(\frac{a^2}{b^{2}} + 1 \)} [/math]
Da cui
[math] d= \frac{|b|| \frac{a}{b}x+y+ \frac{c}{b} |}{|b| \sqrt{ \frac{a^2}{b^2}+1}} [/math]
semplificando |b| otterremo, ordinando gli addendi e riscrivendo al posto di a/b=-m (per quanto detto sopra) e c/b=-q (perche' q=-c/b quindi -q=c/b )
[math] d= \frac{|y-mx-q|}{\sqrt{(-m)^2+1} [/math]
E siccome
[math] (-m)^2 = m^2 [/math]
hai la tua formula con la retta in forma esplicita.La seconda richiesta non l'ho capita, puoi spiegarti meglio?
Aggiunto 5 ore 21 minuti più tardi:
cambia il segno perche', dopo i passaggi ottieni
[math] \frac{a}{b} [/math]
e [math] \frac{c}{b} [/math]
ma sappiamo che
[math] m= - \frac{a}{b} \to \frac{a}{b}=-m \\ \\ \\ q=- \frac{c}{b} \to \frac{c}{b}=-q [/math]
Iperbole:
[math] \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = +1 [/math]
l'iperbole traslata sara'
[math] \frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)}{b^2} = 1 [/math]
Da cui
[math] \frac{x^2-2xx_0+x_0^2}{a^2}- \frac{y^2-2yy_0+y_0^2}{b^2}= 1 [/math]
Ovvero
[math] b^2x^2-2b^2xx_0+b^2x_0^2-a^2y^2+2a^2yy_0-a^2y_0^2=a^2b^2 [/math]
Da cui
[math] b^2x^2-a^2y^2-2b^2xx_0+2a^2yy_0+b^2x_0^2-a^2y_0^2-a^2b^2=0 [/math]
Che e' riconducibile all'equazione di un'ellisse.
La differenza tra le due curve la fara' il Delta
se e' un'ellisse,
[math] -mn < 0 [/math]
altrimenti e' un'iperbole se [math] -mn>0 [/math]
In verita' le coniche sono sempre espresse da un'equazione del tipo
[math] ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 [/math]
Le coniche che si studiano (comprese quelle traslate) hanno sempre b=0
Determina il tipo di conica, l'equazione del delta
[math] b^2-4ac>0 [/math]
iperbole[math] b^2-4ac
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