Due problemi di geometria sui punti notevoli di un triangolo..
ciao a tutti :)
avrei bisogno di qualcuno che mi aiuti con questi due problemi di geometria:
1) dimostra che il circocentro di un triangolo rettangolo e' il punto medio dell'ipotenusa.
2) dimostra che l'ortocentro di un triangolo rettangolo e' il vertice dell'angolo retto.
:hi:hi
avrei bisogno di qualcuno che mi aiuti con questi due problemi di geometria:
1) dimostra che il circocentro di un triangolo rettangolo e' il punto medio dell'ipotenusa.
2) dimostra che l'ortocentro di un triangolo rettangolo e' il vertice dell'angolo retto.
:hi:hi
Risposte
1)Il circocentro è il punto di incontro degli assi di un triangolo.
L'asse è il segmento che, perpendicolarmente al lato, passa per il suo punto medio.
Dobbiamo dimostrare che gli assi si incontrano nel punto medio dell'ipotenusa.
consideriamo gli assi dei cateti.
chiamiamo x la metà di un cateto (che pertanto avrà lunghezza 2x) e y la metà dell'altro cateto (che pertanto avrà lunghezza 2y).
L'ipotenusa del triangolo sarà pertanto (per Pitagora)
Sappiamo che, in un triangolo qualsiasi, dal punto di intersezione dei due assi passa anche il terzo asse.
Tracciamo i triangoli aventi come base il cateto e come vertice il punto di intersezione dei due assi.
Questi due triangoli sono isoscele (dal momento che l'altezza taglia in due parti congruetni la base.
il Lato del triangolo isoscele avente come base 2x è, per il teorema di pitagora,
il lato del triangolo isoscele avente come base 2y è, sempre per pitagora,
La somma dei due segmenti trovati coincide con l'ipotenusa, e pertanto il vertice di questi 2 triangoli isoscele (nonchè punto di incontro degli assi) starà sull'ipotenusa.
Questo perchè l'ipotenusa è il segmento che unisce i vertici, non chè la distanza minima tra questi. Dal momento che la somma dei due segmenti coincide con l'ipotenusa, questi segmenti dovranno stare su essa (altrimenti la somma sarebbe superiore all'ipotenusa!)
Inoltre, visto che i due segmenti hanno stessa misura, abbiamo anche dimostrato che il circocentro, oltre a essere sull'ipotenusa, ne è anche il punto medio (i due segmenti sono identici..)
Non è facile dimostrare senza il disegno, ma spero di essere stato chiaro...
Un altro modo più semplice è disegnare il rettangolo avente area doppia al triangolo rettangolo. Il punto di incontro degli assi dei lati di un rettangolo è il anche il punto medio delle diagonali (e le diagonali di questo rettangolo altro non sono che l'ipotenusa del triangolo).
Prova adesso a dirmi come imposteresti il secondo :)
L'asse è il segmento che, perpendicolarmente al lato, passa per il suo punto medio.
Dobbiamo dimostrare che gli assi si incontrano nel punto medio dell'ipotenusa.
consideriamo gli assi dei cateti.
chiamiamo x la metà di un cateto (che pertanto avrà lunghezza 2x) e y la metà dell'altro cateto (che pertanto avrà lunghezza 2y).
L'ipotenusa del triangolo sarà pertanto (per Pitagora)
[math] \sqrt{4x^2+4y^2}=2 \sqrt {x^2+y^2} [/math]
Sappiamo che, in un triangolo qualsiasi, dal punto di intersezione dei due assi passa anche il terzo asse.
Tracciamo i triangoli aventi come base il cateto e come vertice il punto di intersezione dei due assi.
Questi due triangoli sono isoscele (dal momento che l'altezza taglia in due parti congruetni la base.
il Lato del triangolo isoscele avente come base 2x è, per il teorema di pitagora,
[math] \sqrt{x^2+y^2} [/math]
il lato del triangolo isoscele avente come base 2y è, sempre per pitagora,
[math] \sqrt{x^2+y^2}[/math]
La somma dei due segmenti trovati coincide con l'ipotenusa, e pertanto il vertice di questi 2 triangoli isoscele (nonchè punto di incontro degli assi) starà sull'ipotenusa.
Questo perchè l'ipotenusa è il segmento che unisce i vertici, non chè la distanza minima tra questi. Dal momento che la somma dei due segmenti coincide con l'ipotenusa, questi segmenti dovranno stare su essa (altrimenti la somma sarebbe superiore all'ipotenusa!)
Inoltre, visto che i due segmenti hanno stessa misura, abbiamo anche dimostrato che il circocentro, oltre a essere sull'ipotenusa, ne è anche il punto medio (i due segmenti sono identici..)
Non è facile dimostrare senza il disegno, ma spero di essere stato chiaro...
Un altro modo più semplice è disegnare il rettangolo avente area doppia al triangolo rettangolo. Il punto di incontro degli assi dei lati di un rettangolo è il anche il punto medio delle diagonali (e le diagonali di questo rettangolo altro non sono che l'ipotenusa del triangolo).
Prova adesso a dirmi come imposteresti il secondo :)
ciao..
grazie mille.. ok ora provo a risolvere il secondo.. ^^
:hi
non chiudere.. che se magari ho qualche dubbio ti chiedo spiegazioni :)
grazie mille.. ok ora provo a risolvere il secondo.. ^^
:hi
non chiudere.. che se magari ho qualche dubbio ti chiedo spiegazioni :)
ok, rispondo altrimenti non puoi postare... :)
ciao..
allora, una volta fatto il disegno del triangolo rettangolo e tracciate le altezze CA, HA, BA..
si nota che CA e BA coincidono con i cateti del triangolo: quindi il punto d'intersezione dei due lati e' inevitabilmente il vertice A.
per quanto riguarda HA.. ho dei dubbi.. xD.. perche' se faccio l'intersezione tra le tre altezze CA HA BA.. il punto in comune e' A.. pero' non sono sicura
:hi
allora, una volta fatto il disegno del triangolo rettangolo e tracciate le altezze CA, HA, BA..
si nota che CA e BA coincidono con i cateti del triangolo: quindi il punto d'intersezione dei due lati e' inevitabilmente il vertice A.
per quanto riguarda HA.. ho dei dubbi.. xD.. perche' se faccio l'intersezione tra le tre altezze CA HA BA.. il punto in comune e' A.. pero' non sono sicura
:hi
Dal momento che l'ortocento è il punto di intersezione delle altezze, e che l'altezza è la distanza tra il vertice opposto alla base e la base (ovvero la perpendicolare), essendo il triangolo rettangolo le altezze relative ai cateti sono proprio i cateti.
quindi direi che ci sei!
quindi direi che ci sei!
perfetto.. grazie 1000.. DAVVERO!
:)
:hi
:hi
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