Due problemi da porvi
Vi propongo due problemi. Probabilmente la loro risoluzione è facile, ma non ci riesco.
PB 1) Una circonferenza di centro O e raggio a è tangente ai lati dell’angolo rVs nei punti A e B. Si conosca la distanza VO=2a. Condurre una retta r parallela alla corda AB tale che, indicati con H e K i punti di intersezione di r con la circonferenza e con P e T i punti di intersezione con i lati dell’angolo, risulti HK^2+PT^2=kAB^2
PB 2) Considerare il triangolo ABC di ipotenusa AB=2a, in modo che, condotta per il punto medio O di AB la parallela al cateto BC, che incontri in T il cateto AC e in S la perpendicolare in B ad AB, risulti verificata la relazione: (BS/OS)+(OT/OA)=m
Grazie!!!
PB 1) Una circonferenza di centro O e raggio a è tangente ai lati dell’angolo rVs nei punti A e B. Si conosca la distanza VO=2a. Condurre una retta r parallela alla corda AB tale che, indicati con H e K i punti di intersezione di r con la circonferenza e con P e T i punti di intersezione con i lati dell’angolo, risulti HK^2+PT^2=kAB^2
PB 2) Considerare il triangolo ABC di ipotenusa AB=2a, in modo che, condotta per il punto medio O di AB la parallela al cateto BC, che incontri in T il cateto AC e in S la perpendicolare in B ad AB, risulti verificata la relazione: (BS/OS)+(OT/OA)=m
Grazie!!!
Risposte
Ho cercato di risolvere il tuo primo problema facendo alcune ipotesi.
Data la simmetria, ho posto V al centro degli assi cartesiani ed il centro
del cerchio O sull’asse x (x=2a), considerando quindi solo la retta VAP
(l’altra VBT e’ simmetrica nella parte negativa).
Data la geometria della figura, risulta che il trangolo VAB e’ equilatero,
da cui ricavo che yA = VA/2, con VA=a*sqrt(3), mentre xA=a*3/2.
Ora bisogna considerare la parallela passante per P: per proporzione,
fissando xP, risulta yP= xP/sqrt(3), mentre yH puo’ essere ricavata
dall’equazione del cerchio con centro in O, cioe’ yH=sqrt(a^2-(xP-2*a)^2).
Tenendo conto del vincolo AB^2+PT=k*AB^2, dobbiamo esprimere k come
funzione dei segmenti noti (AB=2*yA; PT=2*yP; AB=2*yA), ottenendo
k come funzione di a e xP.
Da quest’ultima possiamo ricavare xP che corrisponde ad un k prefissato
(in altre parole troviamo la posizione della retta parallela ad AB, che soddisfa
le condizioni).
In definitiva, fissati a e k, ricaviamo la figura che corrisponde ai vincoli.
Tengo a disposizione degli eventuali interessati tutta la procedura dettagliata
(per eventuale trasmissione via e-mail).
Per evitare confusione, invio altro post con la soluzione del secondo problema
Data la simmetria, ho posto V al centro degli assi cartesiani ed il centro
del cerchio O sull’asse x (x=2a), considerando quindi solo la retta VAP
(l’altra VBT e’ simmetrica nella parte negativa).
Data la geometria della figura, risulta che il trangolo VAB e’ equilatero,
da cui ricavo che yA = VA/2, con VA=a*sqrt(3), mentre xA=a*3/2.
Ora bisogna considerare la parallela passante per P: per proporzione,
fissando xP, risulta yP= xP/sqrt(3), mentre yH puo’ essere ricavata
dall’equazione del cerchio con centro in O, cioe’ yH=sqrt(a^2-(xP-2*a)^2).
Tenendo conto del vincolo AB^2+PT=k*AB^2, dobbiamo esprimere k come
funzione dei segmenti noti (AB=2*yA; PT=2*yP; AB=2*yA), ottenendo
k come funzione di a e xP.
Da quest’ultima possiamo ricavare xP che corrisponde ad un k prefissato
(in altre parole troviamo la posizione della retta parallela ad AB, che soddisfa
le condizioni).
In definitiva, fissati a e k, ricaviamo la figura che corrisponde ai vincoli.
Tengo a disposizione degli eventuali interessati tutta la procedura dettagliata
(per eventuale trasmissione via e-mail).
Per evitare confusione, invio altro post con la soluzione del secondo problema
Il secondo problema e’ apparentemente piu’ facile: le espressioni relative ai
vari segmenti si ricavano considerando solo le due variabili ‘a’ e ‘p’,
rispettivamente meta’ dell’ipotenusa AB (AO=BO=a) e pendenza della
retta passante per O (TOS).
In questo modo si possono tracciare le rette che definiscono la figura.
Da considerazioni geometriche si ricavano poi le espressioni dei vari
segmenti, per metterle nell’espressione di ‘m’ data.
Si ha cosi’ m in funzione di a e p.
A questo punto ho tentato di esplicitare p , ma senza successo (viene
un’espressione di quarto grado) e mi sono fermato.
Ovviamente sarebbe stato comodo avere p come funzione di a ed m,
ma questo puo’ essere sempre fatto usando il calcolatore in modo
iterativo (non e’ elegante, ma funziona).
Attendo commenti.
vari segmenti si ricavano considerando solo le due variabili ‘a’ e ‘p’,
rispettivamente meta’ dell’ipotenusa AB (AO=BO=a) e pendenza della
retta passante per O (TOS).
In questo modo si possono tracciare le rette che definiscono la figura.
Da considerazioni geometriche si ricavano poi le espressioni dei vari
segmenti, per metterle nell’espressione di ‘m’ data.
Si ha cosi’ m in funzione di a e p.
A questo punto ho tentato di esplicitare p , ma senza successo (viene
un’espressione di quarto grado) e mi sono fermato.
Ovviamente sarebbe stato comodo avere p come funzione di a ed m,
ma questo puo’ essere sempre fatto usando il calcolatore in modo
iterativo (non e’ elegante, ma funziona).
Attendo commenti.
La cosa + difficile da capire nel secondo problema è la limitazione.
Costruisci una semicirconferenza di diametro AB.Allora il punto C si trova necessariamente sull'arco AB in quanto il triangolo ABC è retto in C.
La limitazione ora è semplice:visto ke il triangolo ATO è simile ad ABC per il teorema di Talete AT/AC=AO/AB=1/2-->AT=1/2AC.
Quando C=A-->AC=0-->AT=0
Quando C=B-->AC=2a-->AT=a
Se poniamo AT=x allora 0=
Costruisci una semicirconferenza di diametro AB.Allora il punto C si trova necessariamente sull'arco AB in quanto il triangolo ABC è retto in C.
La limitazione ora è semplice:visto ke il triangolo ATO è simile ad ABC per il teorema di Talete AT/AC=AO/AB=1/2-->AT=1/2AC.
Quando C=A-->AC=0-->AT=0
Quando C=B-->AC=2a-->AT=a
Se poniamo AT=x allora 0=
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