Due funzioni (una razionale fratta, l'altra logaritmica)

[AvrilBoi]

dominio x diverso da 1/2
positività x compreso fra 1/2 e 5
limite per x che tende a + o - = -
Non c'è asintoto obliquo.
x=1/2 asintoto verticale aldo destra basso sinistra.
Cresce per x

[issima90]

metti ad intersezone la retta secante con la funzione....er quanto riguarda la retta secante dovresti porre ildelta della funzione maggiore di zero..peno sia così...trovi le due soluzioni e puoi continuare!

[AvrilBoi]

Ok grazie ora ci provo...
Dopo aver studiato la funzione f(x)=x-2ln|x| ed averne costruito il grafico, verifica che tutte le rette di equazione y=x+k (con k numero reale qualsiasi) tagliano la curva in due punti Med N e determina il luogo descritto dal punto medio di MN al variare di k.
Calcola poi la lunghezza l(k) del segmento MN:, quando k descrive l'insieme dei numeri naturali le lunghezze l(k) formano una successione il cui primo termine è l0. dimostra che la successione è una progressione geometrica e indicane la ragione.
Calcola infine l'area A(m) della regione di piano individuata dalle condizioni 1

[issima90]

mmm...aspetta chiamo il collega....magari ci riesco ma faccio quinta anche io e avrei biogno di tempo che ora più di tanto non ho!scusa!

[ciampax]

Allora, vediamo il primo:

le rette del fascio di centro Q(5,0) hanno equazione

[math]y=m(x-5)[/math]

Ora devi determinare quali di queste sono tangenti alla curva data. Poiché

[math]f'(x)=-{\frac {x \left( 4\,{x}^{2}-13\,x+10 \right) }{ \left( 2\,x-1
\right) ^{2}}}[/math]

l'equazione della generica retta tangente ad f passante per il punto

[math](\alpha, f(\alpha))[/math]

è

[math]y-f(\alpha)=f'(\alpha)(x-\alpha)[/math]

Basta allora vedere quali di queste rette passano per il punto Q: devi quindi studiare l'equazione in

[math]\alpha[/math]

[math]-f(\alpha)=f'(\alpha)(5-\alpha)[/math]

Ottieni le soluzioni

[math]\alpha=0,\quad 1,\quad 5[/math]

. Ovviamente

[math]\alpha=5[/math]

dà il punto Q, mentre per gli altri due valori ottieni i punti

[math]O(0,0),\quad A(1,4)[/math]

che sono le cordinate cercate!

Ora considera una generica retta del fascio passante per Q e metti la sua equazione a sistema con l'equazione

[math]y=f(x)[/math]

. Le soluzioni, che dipendono da m, sono

[math]x=5,\qquad x=-m\pm\sqrt{m^2+m}[/math]

Quindi abbiamo i punti di coordinate

[math]M\left(-m-\sqrt{m^2+m},-{\frac { \left( m+\sqrt {m \left( m+1 \right) } \right) ^{2} \left( m
+\sqrt {m \left( m+1 \right) }+5 \right) }{2\,m+2\,\sqrt {m \left( m+1
\right) }+1}}\right)\\
N\left(-m+\sqrt{m^2+m},-{\frac { \left( -m+\sqrt {m \left( m+1 \right) } \right) ^{2} \left(
-m+\sqrt {m \left( m+1 \right) }-5 \right) }{-2\,m+2\,\sqrt {m \left(
m+1 \right) }-1}}\right)
[/math]

(perdonami se non ti faccio tutti i conti ma se no non la finiamo più!) Osserva che tutto ciò è lecito solo se l'argomento della radice è non negativo (e quindi per

[math]m\leq -1,\quad m\geq 0[/math]

).

A questo punto le coordinate del punto medio tra M ed N sono date dalla semi somma delle loro coordinate e quindi

[math]P_{MN}\left(-m,-m(m+5))[/math]

Allora le coordinate del punto medio hanno sempre la forma

[math]x=-m,\qquad y=-m(m+5)[/math]

da cui

[math]m=-x[/math]

e

[math]y=x(5-x)=5x-x^2[/math]

Per l'integrale credo tu possa fare da solo.

Per l'altro continuo dopo!

[issima90]

ok d'ora in poi nn mi impiccerò più di queste cose...nn ho ancora fatto null!

[ciampax]

Il secondo.

Credo tu non abbia problemi con lo studio di funzione e a verificare la cosa sulle intersezioni (lo vedi dal grafico.) Per le intersezioni hai

[math]x-2\ln |x|=x+k[/math]

da cui

[math]\ln |x|=-\frac{k}{2}\qquad x=\pm e^{-k/2}[/math]

e quindi i punti

[math]M(e^{-k/2}, e^{-k/2}-k)[/math]

e

[math]N(-e^{-k/2}, -e^{-k/2}-k)[/math]

, da cui le coordinate del punto medio

[math]P_{MN}(0,-k)[/math]

e quindi l'equazione del luogo è

[math]x=0[/math]

.

Abbiamo poi

[math]\ell(k)=\sqrt{(e^{-k/2}+e^{-k/2})^2+(e^{-k/2}-k+e^{-k/2}+k)^2}=2\sqrt{2} e^{-k/2}[/math]

La successione

[math]\ell(n)=2\sqrt{2}\ e^{-n/2}[/math]

è tale che

[math]l(n+1)=2\sqrt{2}\ e^{-(n+1)/2}=2\sqrt{2}\ e^{-n/2}\ e^{-1/2}=e^{-1/2}\cdot\ell(n)[/math]

e quindi è una progressione geometrica di ragione

[math]q=e^{-1/2}[/math]

e primo termine

[math]\ell(0)=2\sqrt{2}[/math]

.

Per l'ultimo punto hai

[math]A(m)=\int_1^m\ (x-f(x))\ dx=\int_1^m\ 2\ln x\ dx=2+2\,m\ln \left( m \right) -2\,m[/math]

Da cui imponendo

[math]A(m)=2[/math]

trovi le soluzioni

[math]m=0,\ m=e[/math]

, di cui solo la seconda è accettabile.

[AvrilBoi]

Grazie

[ciampax]

Prego. Chiudo!