Due domandine per risolvere delle difficoltà
Sto studiando le formule inverse della trigonometria ed ho due domandine per risolvere dei dubbi, ecco la prima:
Dalla formula del seno di una somma
\(\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha \)
Riesco ad arrivare alla formula della somma di due arcoseni
\(\displaystyle \arcsin x_1 \pm \arcsin x_2=\arcsin \left(x_1 \sqrt{1-x_2^2} \pm x_2 \sqrt{1-x_1^2}\right)\)
Per arrivare a quella formula ho ignorato però i segni della relazione tra coseno e seno cioè invece di
\(\displaystyle \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin^2 \alpha} \)
Ho usato
\(\displaystyle \cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha} \)
Dovrebbe essere sbagliato ma la formula funziona bene e i risultati sono perfettamente uguali, salvo casi speciali in cui si fa un gioco tra angoli ma la formula rimane uguale, aggiungo poi che ho dovuto ignorare i segni dato che la formula trovata su wiki equivalente non li aveva. Ho calcolato in modo equivalente anche quella per l'arcocoseno e la formula funziona, mentre se provo a farlo con l'arcocosecante ho dei problemi:
La somma di cosecanti sarebbe
\(\displaystyle \csc (\alpha \pm \beta)=\frac{\csc \alpha \csc \beta}{\cot \beta \pm \cot \alpha}\)
Da questa arrivo alla somma di arcocosecanti
\(\displaystyle \mbox{arccsc} x_1 \pm \mbox{arccsc} x_2=\mbox{arccsc} \left(\frac{x_1x_2}{\sqrt{x_2^2-1} \pm \sqrt{x_1^2-1}}\right)\)
Ho sfruttato la relazione tra cotangente e cosecante, cioè
\(\displaystyle \cot \alpha=\pm \sqrt{\csc^2 \alpha-1} \)
Anche stavolta ho ignorato i segni come per il seno e coseno e quindi l'ho considerata come
\(\displaystyle \cot \alpha=\sqrt{\csc^2 \alpha-1} \)
Questa formula diversamente da quella dell'arcoseno non funziona sempre ed ho verificato che l'errore sta proprio nel fatto di non aver considerato i segni infatti la formula è giusta se i due valori $x_1$ e $x_2$ sono entrambi positivi, mentre se uno dei due o entrambi sono negativi la formula è sbagliata, ad esempio con i valori $1.1$ e $-1.02$ e facendo la somma ottengono valori diversi, ovvero un'uguaglianza non verificata mentre cambiando il segno alla prima radice al denominatore nell'espressione dell'arcocosecante ottengo il valore giusto, cioè l'uguaglianza verificata.
La mia domanda è quindi:
Ignorare il segno è giusto? Se si perché e come mai la formula sopra non funzione? Se no, secondo voi come può essere trovata la formula dell'arcoseno se non in quel modo?
Questo mi serve saperlo perché così posso trovare una formula sia per l'arcocosecante che per l'arcosecante.
Seconda domanda:
Data una funzione $f(x)$ e una costante $a$ in relazione tra di loro come
\(\displaystyle f(x)\geq a \)
Sia data poi una funzione $g(x)$, quando facendo la composizione di $x$ con $f(x)$ ed $a$ si ottiene la seguente disuguaglianza?
\(\displaystyle g(f(x))\leq g(a) \)
Per essere più chiaro questo mi serve invece saperlo perché ho avuto problemi con l'arcocoseno come la seguente uguaglianza
\(\displaystyle \arccos x>20 => \cos(\arccos x)<\cos(20)\)
Che mi è risultata giusta come si può vedere solo invertendo il verso della disuguaglianza.
Ok, spero di non aver annoiato troppo e sopratutto di non chiedere troppo, vi sarei grato dell'aiuto e vi ringrazio in anticipo, grazie
Dalla formula del seno di una somma
\(\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha \)
Riesco ad arrivare alla formula della somma di due arcoseni
\(\displaystyle \arcsin x_1 \pm \arcsin x_2=\arcsin \left(x_1 \sqrt{1-x_2^2} \pm x_2 \sqrt{1-x_1^2}\right)\)
Per arrivare a quella formula ho ignorato però i segni della relazione tra coseno e seno cioè invece di
\(\displaystyle \cos \alpha=\pm \sqrt{1-\sin^2 \alpha} \)
Ho usato
\(\displaystyle \cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha} \)
Dovrebbe essere sbagliato ma la formula funziona bene e i risultati sono perfettamente uguali, salvo casi speciali in cui si fa un gioco tra angoli ma la formula rimane uguale, aggiungo poi che ho dovuto ignorare i segni dato che la formula trovata su wiki equivalente non li aveva. Ho calcolato in modo equivalente anche quella per l'arcocoseno e la formula funziona, mentre se provo a farlo con l'arcocosecante ho dei problemi:
La somma di cosecanti sarebbe
\(\displaystyle \csc (\alpha \pm \beta)=\frac{\csc \alpha \csc \beta}{\cot \beta \pm \cot \alpha}\)
Da questa arrivo alla somma di arcocosecanti
\(\displaystyle \mbox{arccsc} x_1 \pm \mbox{arccsc} x_2=\mbox{arccsc} \left(\frac{x_1x_2}{\sqrt{x_2^2-1} \pm \sqrt{x_1^2-1}}\right)\)
Ho sfruttato la relazione tra cotangente e cosecante, cioè
\(\displaystyle \cot \alpha=\pm \sqrt{\csc^2 \alpha-1} \)
Anche stavolta ho ignorato i segni come per il seno e coseno e quindi l'ho considerata come
\(\displaystyle \cot \alpha=\sqrt{\csc^2 \alpha-1} \)
Questa formula diversamente da quella dell'arcoseno non funziona sempre ed ho verificato che l'errore sta proprio nel fatto di non aver considerato i segni infatti la formula è giusta se i due valori $x_1$ e $x_2$ sono entrambi positivi, mentre se uno dei due o entrambi sono negativi la formula è sbagliata, ad esempio con i valori $1.1$ e $-1.02$ e facendo la somma ottengono valori diversi, ovvero un'uguaglianza non verificata mentre cambiando il segno alla prima radice al denominatore nell'espressione dell'arcocosecante ottengo il valore giusto, cioè l'uguaglianza verificata.
La mia domanda è quindi:
Ignorare il segno è giusto? Se si perché e come mai la formula sopra non funzione? Se no, secondo voi come può essere trovata la formula dell'arcoseno se non in quel modo?
Questo mi serve saperlo perché così posso trovare una formula sia per l'arcocosecante che per l'arcosecante.
Seconda domanda:
Data una funzione $f(x)$ e una costante $a$ in relazione tra di loro come
\(\displaystyle f(x)\geq a \)
Sia data poi una funzione $g(x)$, quando facendo la composizione di $x$ con $f(x)$ ed $a$ si ottiene la seguente disuguaglianza?
\(\displaystyle g(f(x))\leq g(a) \)
Per essere più chiaro questo mi serve invece saperlo perché ho avuto problemi con l'arcocoseno come la seguente uguaglianza
\(\displaystyle \arccos x>20 => \cos(\arccos x)<\cos(20)\)
Che mi è risultata giusta come si può vedere solo invertendo il verso della disuguaglianza.
Ok, spero di non aver annoiato troppo e sopratutto di non chiedere troppo, vi sarei grato dell'aiuto e vi ringrazio in anticipo, grazie
Risposte
Per la prima parte del primo quesito,ad occhio,
ti basta andare alla risposta che t'ha recentemente dato Gianmaria ad un'analoga domanda,
ed osservare che le relazioni tra seni e coseni d'archi complementari importano che $"arcos"x=pi/2-"arcsen"x$ $AA x in [-1,1]$:
usandola opportunamente insieme all'altra ovvia,che tra l'altro ne è la formula inversa,
dovresti toglierti tutti i dubbi
(comprensibili perché l'andamento dei segni è un pò incasinato di suo ..)!
Per la sua seconda parte osserva che,ad esempio,$"arcsec"x="arccos"1/x$ $AA x in (-oo,-1]uu[1,+oo)$:
dovrebbe bastare per partire bene ed arrivare meglio..
Per il quesito finale hai totalmente ragione se la "componente più esterna" è crescente o non decrescente(come ad esempio le funzioni con legge di def. $"arcsen"x$ o $log_2 x$..),
e totalmente torto(i.e. devi cambiare i versi..)se essa è decrescente o non crescente
(come ad esempio $"arcscos"x $ o $log_(1/2)x$..):
saluti dal web.
Edit:
Mi scuso con l'OP se è stato tratto in inganno da quanto,sbagliando per la fretta di digitare,
avevo scritto in merito alla monotonia di $"arcsen"x$(che ovviamente era invece $"arccos"x$,così come da correzione..) nell'ultima parentesi.
ti basta andare alla risposta che t'ha recentemente dato Gianmaria ad un'analoga domanda,
ed osservare che le relazioni tra seni e coseni d'archi complementari importano che $"arcos"x=pi/2-"arcsen"x$ $AA x in [-1,1]$:
usandola opportunamente insieme all'altra ovvia,che tra l'altro ne è la formula inversa,
dovresti toglierti tutti i dubbi
(comprensibili perché l'andamento dei segni è un pò incasinato di suo
..)!Per la sua seconda parte osserva che,ad esempio,$"arcsec"x="arccos"1/x$ $AA x in (-oo,-1]uu[1,+oo)$:
dovrebbe bastare per partire bene ed arrivare meglio..
Per il quesito finale hai totalmente ragione se la "componente più esterna" è crescente o non decrescente(come ad esempio le funzioni con legge di def. $"arcsen"x$ o $log_2 x$..),
e totalmente torto(i.e. devi cambiare i versi..)se essa è decrescente o non crescente
(come ad esempio $"arcscos"x $ o $log_(1/2)x$..):
saluti dal web.
Edit:
Mi scuso con l'OP se è stato tratto in inganno da quanto,sbagliando per la fretta di digitare,
avevo scritto in merito alla monotonia di $"arcsen"x$(che ovviamente era invece $"arccos"x$,così come da correzione..) nell'ultima parentesi.
Se preferisci vederla in altro modo, forse più semplice, puoi ragionare così:
$alpha=arcsinx$ equivale a ${(x=sinalpha),(-pi/2<=alpha<=pi/2):}$
e, poiché siamo nel primo o quarto quadrante,
$cos alpha=+sqrt(1-sin^2alpha)$
Non ho provato per le altre relazioni, ma suppongo valga un ragionamento analogo.
$alpha=arcsinx$ equivale a ${(x=sinalpha),(-pi/2<=alpha<=pi/2):}$
e, poiché siamo nel primo o quarto quadrante,
$cos alpha=+sqrt(1-sin^2alpha)$
Non ho provato per le altre relazioni, ma suppongo valga un ragionamento analogo.
@theras: Intendi che l'altra formula posso trovarla con la relazione tra arcocosecante e arcoseno? cioè
\(\displaystyle \mbox{arccsc} x_1 \pm \mbox{arccsc} x_2=\arcsin \left(\frac{1}{x_1}\right) \pm \arcsin \left(\frac{1}{x_2}\right) \)
Poi riguardo al fatto della disequazione per più esterna intendi quella a secondo membro dopo il disuguale?
Quindi il verso devo cambiarlo quando questo è decrescente e non devo cambiarlo quando non lo è?
@gianmaria: ma il fatto e che $\alpha$ o $\beta$ non devono per forza essere tra il quarto e primo quadrante, cioè metti ad esempio avessi i valori e parto dal seno di una somma, ad esempio i valori 45 e 120, uno nel primo quadrante e l'altro nel secondo allora avrei
\(\displaystyle \sin(45+120)=\sin 45 \cos 120+\cos 45 \sin 120 \)
Per $\cos 120$ l'angolo è nel secondo quadrante e quindi il coseno è negativo, la relazione con il seno è quindi
\(\displaystyle \cos 120=-\sqrt{1-\sin^2 120} \)
Il seno è invece positivo in entrambi gli angoli, la formula diventerebbe quindi
\(\displaystyle \sin(45+120)=-\sin 45 \sqrt{1-\sin^2 120}+\sqrt{1-\sin^2 45} \sin 120\)
Prendendo ora $\sin 45$ come $x_1$ e $\sin 120$ come $x_2$ sostituendo ottengo la relativa formula della somma di arcoseni, ovvero
\(\displaystyle \arcsin x_1+\arcsin x_2=\arcsin \left(-x_1 \sqrt{1-x_2^2}+x_2 \sqrt{1-x_1^2}\right) \)
Che è diversa dall'altra.
\(\displaystyle \mbox{arccsc} x_1 \pm \mbox{arccsc} x_2=\arcsin \left(\frac{1}{x_1}\right) \pm \arcsin \left(\frac{1}{x_2}\right) \)
Poi riguardo al fatto della disequazione per più esterna intendi quella a secondo membro dopo il disuguale?
Quindi il verso devo cambiarlo quando questo è decrescente e non devo cambiarlo quando non lo è?
@gianmaria: ma il fatto e che $\alpha$ o $\beta$ non devono per forza essere tra il quarto e primo quadrante, cioè metti ad esempio avessi i valori e parto dal seno di una somma, ad esempio i valori 45 e 120, uno nel primo quadrante e l'altro nel secondo allora avrei
\(\displaystyle \sin(45+120)=\sin 45 \cos 120+\cos 45 \sin 120 \)
Per $\cos 120$ l'angolo è nel secondo quadrante e quindi il coseno è negativo, la relazione con il seno è quindi
\(\displaystyle \cos 120=-\sqrt{1-\sin^2 120} \)
Il seno è invece positivo in entrambi gli angoli, la formula diventerebbe quindi
\(\displaystyle \sin(45+120)=-\sin 45 \sqrt{1-\sin^2 120}+\sqrt{1-\sin^2 45} \sin 120\)
Prendendo ora $\sin 45$ come $x_1$ e $\sin 120$ come $x_2$ sostituendo ottengo la relativa formula della somma di arcoseni, ovvero
\(\displaystyle \arcsin x_1+\arcsin x_2=\arcsin \left(-x_1 \sqrt{1-x_2^2}+x_2 \sqrt{1-x_1^2}\right) \)
Che è diversa dall'altra.
La tua domanda non parlava di angoli in generale ma di arcoseni e, per definizione, un arcoseno è sempre nel primo o quarto quadrante: vale quindi la formula che ho dato per il coseno ed è escluso che un arcoseno sia 120°. La tua obiezione è però valida per la loro somma (o differenza; guardo solo la somma per semplicità) e mi spiego meglio. Posto
${(alpha=arcsinx_1),(beta=arcsinx_2):}$
arrivi a $sin(alpha+beta)=x_1sqrt(1-x_2^2)+x_2sqrt(1-x_1^2)$
ma per proseguire devi sapere in che quadrante è $alpha+beta$; la formula da te citata inizialmente vale se è nel primo o quarto mentre va modificata se è nel secondo o terzo.
${(alpha=arcsinx_1),(beta=arcsinx_2):}$
arrivi a $sin(alpha+beta)=x_1sqrt(1-x_2^2)+x_2sqrt(1-x_1^2)$
ma per proseguire devi sapere in che quadrante è $alpha+beta$; la formula da te citata inizialmente vale se è nel primo o quarto mentre va modificata se è nel secondo o terzo.
Credo di aver capito, praticamente con $\alpha=\arcsin x_1$ impongo che $\alpha$ sia per forza nel codominio dell'arcoseno dove il coseno è sempre positivo, quindi non avremo mai $\alpha$ al di fuori di esso, anche avendolo in precedenza applicando l'arcoseno al seno dell'angolo può restituire un'altro angolo, cioè se avessi ad esempio 120 il seno sarebbe
\(\displaystyle \sin 120=x_1 \)
Ed essendo 120 fuori dal codominio del arcoseno applicando l'arcoseno a $x_1$ non ottengo 120 ma $180-120$ quindi $60$.
Se quindi ho capito bene per risolvere il problema con l'arcocosecante devo per forza usare il metodo di theras oppure trovare la relazione della cosecante di una somma con funzioni che restituiscono valori positivi con il codominio dell'arcocosecante o almeno una funzione in cui il segno sia fisso nel codominio, giusto?
\(\displaystyle \sin 120=x_1 \)
Ed essendo 120 fuori dal codominio del arcoseno applicando l'arcoseno a $x_1$ non ottengo 120 ma $180-120$ quindi $60$.
Se quindi ho capito bene per risolvere il problema con l'arcocosecante devo per forza usare il metodo di theras oppure trovare la relazione della cosecante di una somma con funzioni che restituiscono valori positivi con il codominio dell'arcocosecante o almeno una funzione in cui il segno sia fisso nel codominio, giusto?
Per l'arcoseno hai capito bene, ma lo stesso ragionamento può essere fatto per l'arcocosecante: escludendo $alpha=0$, in cui la secante non esiste, il codominio è lo stesso dell'arcoseno.
Ragionamento analogo per arcocoseno ed arcosecante: il codominio è $0<=alpha<=pi$ ed in questi quadranti la formula per il seno ha il più davanti alla radice.
Ragionamento analogo per arcocoseno ed arcosecante: il codominio è $0<=alpha<=pi$ ed in questi quadranti la formula per il seno ha il più davanti alla radice.
Perfetto! allora ho capito 
Riguardo al fatto della disuguaglianza composta ho capito che per "quella più esterna" theras intendeva la funzione $g(x)$ ed ho capito come funziona, ho ancora un dubbio però:
Cerco di farmi capire con un'esempio per il seno. Il seno è crescente nell'intervallo in cui è biettivo $-90
E applico il seno ad entrambi i membri in questo caso devo risolvere i due sistemi seguenti?
\(\displaystyle \left \{\begin{array}{l}90<\arccos x<180\\ \sin(\arccos x)<\sin(90-\arctan x) \end{array}\right. \qquad \lor \qquad \left \{\begin{array}{l} 0<\arccos x<90\\ \sin(\arccos x)>\sin(90-\arctan x)\end{array}\right.\)
Non mi serve risolvere la disequazione mi serve solo per cercare di farmi capire, vi ringrazio per tutto l'aiuto forum stupendo
Riguardo al fatto della disuguaglianza composta ho capito che per "quella più esterna" theras intendeva la funzione $g(x)$ ed ho capito come funziona, ho ancora un dubbio però:
Cerco di farmi capire con un'esempio per il seno. Il seno è crescente nell'intervallo in cui è biettivo $-90
E applico il seno ad entrambi i membri in questo caso devo risolvere i due sistemi seguenti?
\(\displaystyle \left \{\begin{array}{l}90<\arccos x<180\\ \sin(\arccos x)<\sin(90-\arctan x) \end{array}\right. \qquad \lor \qquad \left \{\begin{array}{l} 0<\arccos x<90\\ \sin(\arccos x)>\sin(90-\arctan x)\end{array}\right.\)
Non mi serve risolvere la disequazione mi serve solo per cercare di farmi capire, vi ringrazio per tutto l'aiuto forum stupendo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo