Dubbio sulle disequazioni irrazionali con esponente delle radici pari

[Asclepiade1]

Salve a tutti!
Per semplicità prendiamo in esame un radicale quadratico.
Data la disequazione $\sqrt{A(x)}equivalente? Ciò non contraddice il secondo teorema di equivalenza delle disequazioni

?

[*]Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero o per una stessa espressione algebrica sempre positivo o sempre negativa e definita per ogni valore della variabile che vi compare, si ottiene una disequazione equivalente a patto di: mantenere lo stesso verso se il numero (espressione algebrica) è positivo, cambiare verso se il numero (espressione algebrica) è negativo.

[@melia]

Elevare al quadrato non rientra nel secondo principio di equivalenza, ma se entrambi i termini hanno il segno positivo la disuguaglianza resta verificata.
Perciò $ A(x) quello che è equivalente alla disequazione $ \sqrt{A(x)}=0),(B(x)>0),(A(x)

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[Asclepiade1]

Buongiorno!

"@melia":Perciò $ A(x) NON è equivalente a $ \sqrt{A(x)},
quello che è equivalente alla disequazione $ \sqrt{A(x)} è il sistema $ \{(A(x)>=0),(B(x)>0),(A(x)

Questo è quello che ho espresso nel messaggio precedente. Infatti quando ho chiesto

"Asclepiade":perchè, elevando al quadrato entrambi i membri, si ottiene una disequazione equivalente?

intendevo "...entrambi i membri in cui le condizioni di $A(x)$ e $B(x)$ sono quelle appena dette..."

"@melia":...ma se entrambi i termini hanno il segno positivo la disuguaglianza resta verificata.

Ebbene, questo è il punto che è oggetto della domanda.

Aggiungo: se, studiando le equazioni irrazionali, intuitivamente capivo che era corretto elevare al quadrato entrambi i membri non negativi (se ho due quantità uguali, moltiplicare entrambe per una sola delle due quantità (secondo principio di equivalenza) equivale a moltiplicarle per se stesse), per quanto riguarda le disequazioni invece intuitivamente capisco solo che elevando al quadrato due membri le cui condizioni abbiamo dette in precedenza, si ottiene una disequazione nello stesso verso; il che non implica che siano equivalenti.

[@melia]

Se $a, b, c, d$ sono numeri positivi con $a se $a0$ e se $c0$
da queste ipotesi ricavo $a*c< (a+n)*(c+m)=b*d$ da cui $ac Adesso basta sostituire $a$ e $c$ con $sqrt(f(x))$ e $b$ e $d$ con $g(x)$ e ottieni $f(x)< (g(x))^2$

Viceversa
$ \{(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)=0),(b>0),(a^2 a^2-b^2<0 =>(|a|+b)(|a|-b)<0 =>|a|
Per giungere all'ultimo punto ho diviso per il fattore positivo $|a|+b$, inoltre le radici quadrate, se esistono, sono sempre positive, per cui se $f(x)=a^2 => sqrt(f(x))=|a|$, l'ultima disequazione del sistema, sotto le condizioni dovute alle prime due disequazioni, diventa $sqrt(f(x))

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[Asclepiade1]

Grazie del tuo tempo @melia.