Dubbio sulla semplificazione nei limiti

[TheBarbarios]

Ciao a tutti! Ho un dubbio che mi perseguita fin dall'anno scorso ma di cui non ho mai trovato risposta e anche la mia prof non è che sia riuscita a rispondermi molto chiaramente.
Scrivo un esempio per essere più chiaro.


Prendiamo il limite:

$lim_(x->\infty) (x/(2^(1/x) +1)-1/2 x)$

Se io al primo passaggio semplifico $2^(1/x)$ come $1$, allora poi vedo subito che il limite risulta $lim_(x->\infty) (x/(1+1)-1/2 x)$ e quindi viene $0$.

Se però, invece, io faccio denominatore comune allora trovo $lim_(x->\infty) (x-x2^(1/x))/(2(2^(1/x) +1))$ e rendendo quella radice infinitesima uguale a $1$ ho che $lim_(x->\infty) (x-x2^(1/x))/4$ e poi in pochi passaggi ottengo infine
$lim_(x->\infty) (x/(2^(1/x) +1)-1/2 x) = 1/4 ln2$.


La mia domanda è quindi: perchè se semplifico all'inizio non è corretto? L'esercizio mi da appunto come risultato $1/4 ln2$ però non capisco perché se faccio la stessa cosa qualche passaggio dopo allora mi viene giusto. Ovviamente la stessa cosa mi succede anche con molte altre forme di limiti.

[Pierlu11]

Il calcolo di un limite non segue lo stesso principio del calcolare il valore di una funzione in un punto... pensa che non hai un valore fisso da "sostituire" ma è come se fosse in evoluzione insieme al valore della funzione quindi per calcolarlo va sostituito contemporaneamente a tutte le variabili e non "a pezzi".