Dubbio sulla continuità di una funzione in un punto.

[jellybean22]

Buon giorno a tutti, ho un dubbio sulla continuità della funzione $f(x)=arctan(x)/x$ nel punto di ascissa $x_0$ uguale a 0. Ho il caso in cui limite dx e sx coincidono, difatti $l=1$. Tuttavia ho che $f(x_0)= 0/0$ e di conseguenza $!=l$. Dunque secondo il mio ragionamento in quel punto $f(x)$ non è continua e quindi non si può neanche dire ci sia un massimo visto lo studio della derivata prima. Il valore, quindi, si dovrebbe proprio escludere dal dominio. Tuttavia il libro non porta nessun "pallino" vuoto nel grafico, per indicare questa presunta discontinuità. Qualcosa nel mio ragionamento non va bene?

Grazie a tutti!

[@melia]

Il punto $0$ è una discontinuità eliminabile, che può essere eliminata ponendo $f(x)={(arctan(x)/x,if x!=0),(1,if x=0):}$, in questo modo la funzione non hai più punti di discontinuità. Implicitamente il libro riporta il grafico della funzione trasformata eliminandone la discontinuità.

[jellybean22]

Perfetto, ho capito, grazie mille