Dubbio sul teorema dle confronto
Buongiorno a tutti.
Avrei un dubbio sul teorema del confronto sul limiti (il teorema dei due carabinieri per intenderci).
Sul mio libro, e anche su Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_confronto#Funzioni, c'è scritto che le 3 funzioni devono avere lo stesso dominio. Questa cosa però personalmente non mi torna. Nel senso, se io ad esempio prendo $f(x)=1/sqrt(x)$; $g(x)=1/x$; $h(x)=1/x^2$ abbiamo che, $AA x>1$, $f(x)>g(x)>h(x)$ e che $lim_(x->+infty)f(x)=lim_(x->+infty)h(x)=0$. Io a questo punto applicherei il teorema del confronto, per dimostrare che $lim_(x->+infty)g(x)=0$ (cosa che ovviamente so già, ma è per fare un esempio), considerando l'intervallo $[1;+infty[$. E penso di poter utilizzare questo teorema (e l'ho anche dimostrato, se volete lo scrivo sul forum), anche se il dominio delle 3 funzioni è diverso (infatti, il dominio di $f(x)$ è $x>0$ mentre per $g(x)$ e $h(x)$ il dominio è $x!=0$). Non comprendo quindi perché imporre che le 3 funzioni debbano avere lo stesso dominio.
Grazie a chiunque mi sappia dare una delucidazione su questa "sottigliezza" che evidentemente non colgo, grazie
Avrei un dubbio sul teorema del confronto sul limiti (il teorema dei due carabinieri per intenderci).
Sul mio libro, e anche su Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_confronto#Funzioni, c'è scritto che le 3 funzioni devono avere lo stesso dominio. Questa cosa però personalmente non mi torna. Nel senso, se io ad esempio prendo $f(x)=1/sqrt(x)$; $g(x)=1/x$; $h(x)=1/x^2$ abbiamo che, $AA x>1$, $f(x)>g(x)>h(x)$ e che $lim_(x->+infty)f(x)=lim_(x->+infty)h(x)=0$. Io a questo punto applicherei il teorema del confronto, per dimostrare che $lim_(x->+infty)g(x)=0$ (cosa che ovviamente so già, ma è per fare un esempio), considerando l'intervallo $[1;+infty[$. E penso di poter utilizzare questo teorema (e l'ho anche dimostrato, se volete lo scrivo sul forum), anche se il dominio delle 3 funzioni è diverso (infatti, il dominio di $f(x)$ è $x>0$ mentre per $g(x)$ e $h(x)$ il dominio è $x!=0$). Non comprendo quindi perché imporre che le 3 funzioni debbano avere lo stesso dominio.
Grazie a chiunque mi sappia dare una delucidazione su questa "sottigliezza" che evidentemente non colgo, grazie
Risposte
"xaxtos":
... Non comprendo quindi perché imporre che le 3 funzioni debbano avere lo stesso dominio.
Ma è quello che hai fatto anche tu prendendo lo stesso intervallo $[1,+infty[$ come dominio ...
Non confondere il dominio di una funzione (che in teoria dovrebbe sempre essere dato) con il C.E. o "dominio naturale" ...
Ah, ho capito! ho sempre identificato le condizioni d'esistenza con il dominio, e invece no! Quindi, se non ho capito male, le condizioni d'esistenza sono... bè, le condizioni per le quali una funzione esiste, mentre il dominio è l'insieme in cui considero la funzione (che sarà necessariamente un sottoinsieme delle c.e., ma non necessariamente uguale), giusto?
Sì.
In teoria una funzione è definita solo quando vengono "dati" dominio, codominio e legge di corrispondenza; in pratica molti (quasi tutti) identificano una funzione con la sua legge ma questo è spesso fuorviante ... p.es. la funzione $x^2$ non è iniettiva se il suo dominio è tutto $RR$ ma se identifico il dominio di $x^2$ con $[0,+infty[$ lo diventa (e possiede pure l'inversa).
Il campo di esistenza o condizioni di esistenza o dominio naturale è il più "ampio" insieme che può fungere da dominio per una data funzione.
Cordialmente, Alex
In teoria una funzione è definita solo quando vengono "dati" dominio, codominio e legge di corrispondenza; in pratica molti (quasi tutti) identificano una funzione con la sua legge ma questo è spesso fuorviante ... p.es. la funzione $x^2$ non è iniettiva se il suo dominio è tutto $RR$ ma se identifico il dominio di $x^2$ con $[0,+infty[$ lo diventa (e possiede pure l'inversa).
Il campo di esistenza o condizioni di esistenza o dominio naturale è il più "ampio" insieme che può fungere da dominio per una data funzione.
Cordialmente, Alex
Grazie mille davvero! Mi stavo scervellando per capire cosa mi mancasse XD
Grazie ancora per avermi risolto questo dubbio
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