Dubbio sul metodo dell'angolo aggiunto - Goniometria
Ciao a tutti! Mi sono appena registrato, in quanto ho un dubbio da porvi 
Allora, stavo facendo delle disequazioni goniometriche, quando a un certo punto, mi viene la brillante idea di usare il metodo dell'angolo aggiunto..
- sqrt(3)senx + 3cosx < 0
La regola dell'angolo aggiunto permette di renderlo nella forma rsen(x+arctg(b/a) dove r è sqrt(a^2 + b^2), dove a e b sono i coefficienti del seno e del coseno.
Il risultato è 2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) < 0
Comunque, proseguo l'esercizio, che prevedeva altre disequazioni, e le unisco alla fine facendo la tabella dei segni. Piccolo problema: gli intervalli di valori sono esattamente opposti a quelli che il libro prevede.
A questo punto mi chiedo.. Ma se prima di applicare il metodo dell'angolo aggiunto inverto tutti i segni?
Ci provo, e questo è il risultato:
sqrt(3)senx - 3cosx > 0
2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) > 0
E' lo stesso identico risultato di prima, ma col verso opposto!!!! Ora mi chiedo, com'è possibile? Probabilmente ora l'esercizio verrebbe, ma com'è possibile che il metodo abbia una falla del genere? O funziona bene solo con le equazioni?
Ricordo che anche durante l'anno scolastico era uscita una cosa del genere, e la mia prof, che è tutto tranne che impreparata, non ha saputo rispondermi..
Grazie in anticipo a tutti
Allora, stavo facendo delle disequazioni goniometriche, quando a un certo punto, mi viene la brillante idea di usare il metodo dell'angolo aggiunto..- sqrt(3)senx + 3cosx < 0
La regola dell'angolo aggiunto permette di renderlo nella forma rsen(x+arctg(b/a) dove r è sqrt(a^2 + b^2), dove a e b sono i coefficienti del seno e del coseno.
Il risultato è 2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) < 0
Comunque, proseguo l'esercizio, che prevedeva altre disequazioni, e le unisco alla fine facendo la tabella dei segni. Piccolo problema: gli intervalli di valori sono esattamente opposti a quelli che il libro prevede.
A questo punto mi chiedo.. Ma se prima di applicare il metodo dell'angolo aggiunto inverto tutti i segni?
Ci provo, e questo è il risultato:
sqrt(3)senx - 3cosx > 0
2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) > 0
E' lo stesso identico risultato di prima, ma col verso opposto!!!! Ora mi chiedo, com'è possibile? Probabilmente ora l'esercizio verrebbe, ma com'è possibile che il metodo abbia una falla del genere? O funziona bene solo con le equazioni?
Ricordo che anche durante l'anno scolastico era uscita una cosa del genere, e la mia prof, che è tutto tranne che impreparata, non ha saputo rispondermi..
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Sbagli; $sin(x-pi/3)=-sqrt(3)/2cosx+1/2sinx$. In entrambi i casi pertanto il risultato è lo stesso, non c'è alcuna falla.
Certo il risultato è lo stesso, ma cambia il verso!
- sqrt(3)senx + 3cosx < 0 è uguale a 2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) < 0
Mentre sqrt(3)senx - 3cosx > 0 è uguale a 2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) > 0
Nel primo caso mi da un certo intervallo di soluzioni, nel secondo l'intervallo opposto.. Com'è possibile? Ho sbagliato a usare il metodo?
- sqrt(3)senx + 3cosx < 0 è uguale a 2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) < 0
Mentre sqrt(3)senx - 3cosx > 0 è uguale a 2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) > 0
Nel primo caso mi da un certo intervallo di soluzioni, nel secondo l'intervallo opposto.. Com'è possibile? Ho sbagliato a usare il metodo?
- sqrt(3)senx + 3cosx < 0 è uguale a 2sqrt(3)sen(x - pigreco/3) < 0È qui che sbagli: $sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta$, prova a svolgerla correttamente e vedrai che tutto torna.
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