Dubbio sul calcolo di un estremo inferiore

[meursault1]

Buongiorno a tutti.
Sono incerto riguardo al calcolo dell'estremo inferiore richiesto dal seguente problema:

"Sia $f$ la funzione reale di variabile reale tale che $f(x) = x {x sqrt 2}$,
dove la notazione ${k}$ rappresenta la parte frazionaria di $k$.
Si determini, con dimostrazione, l'esatto valore di $\mbox{inf}{f(n) : n \in \mathbb{N}_0}$."

Io ho supposto di troncare la frazione continua $\sqrt{2}=[1; (2)]$ ad un certo $a_n$.
In questo modo, decomponendo la frazione, il denominatore $d$ risultante dev'essere tale per cui,
all'aumentare di $n$, il prodotto $d sqrt 2$ è un'approssimazione sempre migliore di un intero.
Se presumo che la scelta del valore di $n$ comporti che la $sqrt 2$ sia approssimata per difetto ($n$ pari),
la parte frazionaria di $x sqrt 2$ sarà a sua volta sempre più piccola all'aumentare di $n$.

Concluderei quindi che $\mbox{inf}{f(n) : n \in \mathbb{N}_0}=0$,
ma ho provato a calcolarne il valore con Mathematica, e mi risulta pari a ${sqrt 2}$.
In effetti, non sono nemmeno sicuro che non esista un $k$ tale che, per $n>=k$,
$d$ cresca al punto da rendere $d {d sqrt 2}$ maggiore del più piccolo valore ottenuto per $n
In che modo si potrebbe giungere alla soluzione con rigore matematico?
Grazie in anticipo.

[meursault1]

Cercando di capire qualcosa di più su questo problema, ho provato un po' di valori,
e mi sono accorto di aver sbagliato il calcolo con Mathematica;
tuttavia non sono in grado di impostare la giusta scrittura, ho problemi con la limitazione $x in NN$.
Comunque, già limitando $x$ a un valore come $20$, risulta un estremo inferiore minore di ${sqrt 2}$:

Min[Table[x FractionalPart[x Sqrt[2]], {x, 1, 20}]]

...dà come output $5(-7+5 sqrt 2) \approx 0.3553390593$.

A questo punto, se mi si perdona l'insistenza, rinnovo la mia richiesta di aiuto.
Non ho proprio idea di quale possa essere il valore richiesto, se non $0$.

[Desmo90]

"meursault":
"Sia $f$ la funzione reale di variabile reale tale che $f(x) = x {x sqrt 2}$,
dove la notazione ${k}$ rappresenta la parte frazionaria di $k$.
Si determini, con dimostrazione, l'esatto valore di $\mbox{inf}{f(n) : n \in \mathbb{N}_0}$."


Grazie in anticipo.

hai provato a considerare che ${x}= x-\lfloor x\rfloor $ ?

[meursault1]

"Desmo90":hai provato a considerare che ${x}= x-\lfloor x\rfloor $

È la prima cosa che ho pensato di fare ma non mi portava da nessuna parte,
forse perché queste funzioni le ho studiate da autodidatta e non so bene come gestirle...
Seguendo quella strada come potrei andare avanti?