Dubbio sui limiti nell funzioni composte

[GoldWings]

Ciao e buone feste a tutti.....

Oggi devo risolvere questo limite che mi porta a due soluzioni distinte in base a come lo analizzo:

$lim_(x->+prop)(log(x/(1+x^2)))$ (1)

risoluzione 1:
applico il teorema delle funzioni composte e prima di scrivere $log(lim_(x->+prop)(x/(1+x^2)))$ analizzo $lim_(x->+prop)(x/(1+x^2))$ che è uguale a 0. 0 non rientra nel dominio della funzione logaritmica e quindi il risultato della (1) è IMPOSSIBILE.

risoluzione 2:
sfruttando il cambiamento di variabile posso scrivere $x/(1+x^2)=k$; $lim_(x->+prop)(x/(1+x^2))=0^+$
posso quindi scrivere $lim_(k->0^+)logk=-prop$

Dov'è che sbaglio????


P.S.: il risultato giusto è il secondo

[_Tipper]

Certo che rientra nel dominio di definizione: il risultato del limite è zero, questo vuol dire che l'argomento del logaritmo non è zero, ma tende a $0^{+}$, quindi rientra nel dominio di definizione e il risultato è $-\infty$.

[GoldWings]

ma perchè???? se dico $log (lim_(x->0)(x^2))$ e
$lim_(x->0)(x^2)=0$ allora $log (lim_(x->0)(x^2))= log(0)$ che è impossibile.... mi sembra che il concetto di "tende a" si risolve e non si ripresnta poi più

[fu^2]

tieni presente la funzione del logaritmica con base maggiore di 1 ha asintoto verticale x=0

quindi quando la $x->0$ la curva tenderà verso questo valore e dal momento che x=0 è asintoto verticale, questo valore lo raggiungerà a $oo$

quindi quando risolvi il limite e ti viene log0, vuol dire che la funzione logaritmica tende verso zero e quindi è uguale a $oo$, capito?---

[GoldWings]

Beh sì, effettivamente pensando al grafico è proprio così.... GRAZIE