Dubbio su un quesito del Courant & Robbins

pippo931
Salve a tutti, apro un post per avere una conferma :
a pagina 57 del libro "Che cos'è la matematica?" viene proposto di trovare l'errore in una dimostrazione che sfrutta il principio di induzione.
Per chi non avesse il libro ma capisse l'inglese trova tutto questo alla pagina 20 di questo e-book
http://books.google.it/books?id=_kYBqLc ... A#PPA20,M1

Secondo me l'errore consiste nella considerazione dei numeri $alpha$ e $beta$ rispettivamente come $a-1$ e $b-1$, infatti per passare dalla proposizione $A_(r+1)$ alla $A_r$ non bisogna necessariamente ridurre $a$ e $b$ solo di $1$, uno di essi può essere diminuito anche di più e in questo caso il ragionamento crollerebbe.
Quello che ho scritto è giusto?

Risposte
ViciousGoblin
Direi che il problema è che se $a$ e $b$ sono interi positivi non è detto che $\alpha=a-1$ e $\beta=b-1$ siano positivi.

qqwert
"pippo93":

Secondo me l'errore consiste nella considerazione dei numeri $alpha$ e $beta$ rispettivamente come $a-1$ e $b-1$, infatti per passare dalla proposizione $A_(r+1)$ alla $A_r$ non bisogna necessariamente ridurre $a$ e $b$ solo di $1$, uno di essi può essere diminuito anche di più e in questo caso il ragionamento crollerebbe.
Quello che ho scritto è giusto?


Se ho capito bene tu contesti la definizione di $alpha$ e $beta$ perché troppo poco "generale". Se è così non credo che il problema sia questo: è semplicemente una scelta fatta per la dimostrazione. Se poi porta da qualche parte è un altro paio di maniche. Quel che penso io invece è che non è detto che $alpha$ e $beta$ siano numeri "buoni", dato che $a$ e $b$ sono numeri naturali qualsiasi che soddisfanno alla condizione posta. Mi spiego meglio: perché tu possa applicare $A_r$ i due numeri $alpha$ e $beta$ devono essere naturali, ma perché questo sia possibile deve essere $a>1$, $b>1$. Così facendo però escludi delle coppie $a,b$. Per dimostrare l'asserto dovresti considerare a parte il caso in cui, ad esempio $a=1$, $b=r+1$, ma qui non puoi sfruttare $A_1$ (a parte l'evidente falsità di $a=b$); il primo caso disponibile è $a=1$,$b=2$ e a questo punto ti puoi attaccare al tram :-D

edit: non mi ero accorto del decisamente più sintetico e chiaro intervento di ViciousGoblinEnters :-D

pippo931
"qqwert":
[quote="pippo93"]
Se ho capito bene tu contesti la definizione di $alpha$ e $beta$ perché troppo poco "generale". Se è così non credo che il problema sia questo: è semplicemente una scelta fatta per la dimostrazione.
[/quote]

Si contesto quello, ma il fatto è che il libro dice che se il massimo tra $a$ e $b$ è r allora $a$ e $b$ sono uguali è ovvio che aumentando entrambi di uno il massimo sarà r+1 ed essi rimarranno uguali, ma non è necessario aumentarli entrambi di uno perchè si arrivi alla proposizione $A_(r+1)$.

Il problema può essere visto anche in questo modo:
è vero per ipotesi che se il massimo tra a e b è r allora a=b,
è vero per r=1 perché il massimo che è uguale a 1 non può che assere tra due 1.

ora, l'errore secondo me sta nella considerazione del caso $A_(r+1)$, infatti il libro per arrivare a un massimo di r+1 aumenta sia a che b di 1 creando $alpha$ e $beta$ ed è ovvio che se erano uguali per ipotesi lo saranno anche i due nuovi numeri. Ma questo non è necessario per arrivare al massimo di r+1.

Partendo dal caso base $max(1,1)=1$ per giungere ai successivi si possono aumentare entrambi i numeri (e in questo caso l'uguaglianza di essi persisterebbe ) o solo uno.

Non so sono riuscito a farmi capire...

ViciousGoblin
Tu devi ragionare a rovescio. Data per buona $A_n$ bisogna dedurne $A_{n+1}$.
Per questo devi partire da due numeri $a$ e $b$ tali che il loro massimo sia
$n+1$. A questo punto cerchi di ricondurti ad $A_n$ e per farlo devi necessariamente diminuire di uno sia $a$ che $b$, prendendo $\alpha=a-1$ e $\beta=b-1$;
se diminuisci uno solo dei due non sei certo (IN GENERALE) di poter applicare $A_n$ ad $\alpha$ e a $\beta$.

Il problema è che non puoi comunque applicare $A_n$ ad $\alpha$ e $\beta$ dato che questi non sono necessariamente positivi.

pippo931
"ViciousGoblinEnters":
Tu devi ragionare a rovescio. Data per buona $A_n$ bisogna dedurne $A_{n+1}$.
Per questo devi partire da due numeri $a$ e $b$ tali che il loro massimo sia
$n+1$. A questo punto cerchi di ricondurti ad $A_n$ e per farlo devi necessariamente diminuire di uno sia $a$ che $b$, prendendo $\alpha=a-1$ e $\beta=b-1$;
se diminuisci uno solo dei due non sei certo (IN GENERALE) di poter applicare $A_n$ ad $\alpha$ e a $\beta$.

Il problema è che non puoi comunque applicare $A_n$ ad $\alpha$ e $\beta$ dato che questi non sono necessariamente positivi.


Ok ho capito ciò che dici, ma comunque anche se ragioni al rovescio resta il fatto che i due numeri potrebbero essere diminuiti anche di più di uno?

Se venissero diminuiti di più di uno, a parte il fatto del non essere necessariamente positivi, allora la $A_(n+1)$ non seguirebbe dalla $A_n$. No?

ViciousGoblin
D'accordo, quindi la dimostrazione non funzionerebbe per un altro motivo. E allora ??

Quello che propone il libro e' "un'apparente" dimostrazione del fatto che
$A_n$ implica $A_{n+1}$. Per contestarla non puoi dire "se si facesse
in un altro modo allora non funzionerebbe" - devi trovare cosa non va nel
ragionamento che ti propone il libro.

Se per esempio tu considerassi:

$B_n$ = "per ogni coppia di numeri interi relativi $a$ e $b$ tali che max$(a,b)=n$, si ha $a=b$"

(non ho preso $a$ e $b$ interi), allora l'implicazione $B_n\Rightarrow B_{n+1}$ sarebbe vera per ogni $n$ e
la dimostrazione sarebbe proprio quella del libro. In questo caso pero' non vale $B_1$...

pippo931
"ViciousGoblinEnters":
D'accordo, quindi la dimostrazione non funzionerebbe per un altro motivo. E allora ??

Quello che propone il libro e' "un'apparente" dimostrazione del fatto che
$A_n$ implica $A_{n+1}$. Per contestarla non puoi dire "se si facesse
in un altro modo allora non funzionerebbe" - devi trovare cosa non va nel
ragionamento che ti propone il libro.

Se per esempio tu considerassi:

$B_n$ = "per ogni coppia di numeri interi relativi $a$ e $b$ tali che max$(a,b)=n$, si ha $a=b$"

(non ho preso $a$ e $b$ interi), allora l'implicazione $B_n\Rightarrow B_{n+1}$ sarebbe vera per ogni $n$ e
la dimostrazione sarebbe proprio quella del libro. In questo caso pero' non vale $B_1$...


bhe quello che non va secondo me, a parte la storia dei positivi, è che ci conduce a un caso particolare diminuendo entrambi solo di uno.
dicendo "se si facesse in un altro modo allora non funzionerebbe" non trovi un buco nella dimostrazione? Perchè non funziona in tutti i casi

ViciousGoblin
Prendiamo un'altra dimostrazione che invece funziona e analizziamola.

a mia tesi è che per ogni intero $n$ vale la

$C_n=$ "$n(n+1)$ è pari"

1) $C_1$ vale infatti $1*2=2$ è pari;
2) $C_n$ implica $C_{n+1}$. Per dimostrarlo dobbaimo dimostrare che $(n+1)(n+2)$ è pari ipotizzando di sapere che
$n(n+1)$ è pari (ipotesi induttiva).
Ora osserviamo che $(n+1)(n+2)=(n+1)n+(n+1)2$ e i due addendi sono entrambi pari, il primo per "l'ipotesi induttiva" e il
secondo perchè è il doppio di $n+1$. Dunque $(n+1)(n+2)$ è pari.

Nota che al punto 2) ho scelto di scrivere $(n+1)(n+2)=(n+1)n+(n+1)2$ perchè mi faceva comodo così, se avessi scritto
$(n+1)(n+2)=n(n+2)+(n+2)$ (cosa peraltro corretta) non avrei concluso nulla. Nota anche che non ho dimostrato
che $(n+1)(n+2)$ è pari in generale, ma solo sotto l'ulteriore ipotesi che $n(n+1)$ sia pari.

Riguardati il $B_n$ dell'altro messaggio - in quel caso il "passo induttivo" è rigorosamente vero (fortunatamente la dimostrazione
fallisce per un altro motivo).

Comunque fino a che hai dubbi continua a chiedere (sforzandoti pero' di fare domande precise - cercando di chiarirti il problema probabilmente
vedrai tu stesso la soluzione)

silente1
Secondo me il problema risiede qui:
per $n=1 $ è vero che: max$(a,b)=n$ implica $a=b$ (questo dimostra che $A_1$ è vera e fin qui siamo d'accordo col libro)
$AAn$ è vero che: max$(a,b)=n$ implica $(a=n)$ $vv$ $(b=n)$ (ma non ci è utile infatti il libro non ne parla)

La dimostrazione che $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$ si è invece basata sulla implicazione
$AAn$ max$(a,b)=n$ implica $(a=n)$ $^^$ $(b=n)$ (che è falsa e che impone $a=b$)
dunque penso che Pippo abbia ragione.

ViciousGoblin
veramente $"max(a,b)=n$ implica $(a=n)\vee(b=n)$

silente1
"ViciousGoblinEnters":
veramente $"max(a,b)=n$ implica $(a=n)\vee(b=n)$


E' esattamente quello che ho scritto nel post precedente.

ViciousGoblin
Credo di aver capito ciò che intendevi, Silente, scusa per la puntualizzazione fuori luogo.

Però se non ti metti tra i numeri positivi l'implicazione $A_n\Rightarrow A_{n+1}$ è VERA
(e si dimostra come fa il C.R.)

edit: si PUO' dimostrare come fa il C.R. - Un altro modo di farlo è notare che l'implicazione è sempre vera dato che $A_n$ è falsa per ogni $n$

silente1
@ViciousGoblinEnters
Condivido il tuo rilievo circa l’uscita da $N$ conseguente alla posizione di $\alpha=a-1$ e $beta=b-1$
tuttavia non mi pare che questo sia il nocciolo della questione (anche perché non ho capito perché, fuori da $N$, è vero $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$)

Provo ad esprimermi diversamente.
Per applicare l’induzione si deve dimostrare che tutte le volte che è vero $A_r$ è vero anche $A_(r+1)$.
La dimostrazione del C.R. garantisce che
tutte le volte che è vero $A_r$ e "che $\alpha=a-1$ e $beta=b-1$" è vero anche $A_(r+1)$.
Quanto ho sottolineato è una ipotesi restrittiva che non ci permette la verifica di tutti i casi.

Si deve dimostrare che $AAa,AAb,AAc,$ $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$
Quindi, fissato $n$, provare che $max(a,b)=n$ $rArr$ $a=b$ richiede la verifica delle 2n-1 proposizioni ottenute con tutte le possibili combinazioni di $a$ e $b$ tali che $max(a,b)=n$
Porre $\alpha=a-1$ e $beta=b-1$ equivale a imporre $a=b$ (si dovrebbe dimostrare per induzione con $A_1$ vera). In questo modo si verifica l'unica proposizione in cui $a=b=n$ e si omette di verificare la verità della implicazione $A_r$ $\to$ $A_(r+1)$ per 2n-2 proposizioni, pertanto l’implicazione $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$ non è dimostrata.


"ViciousGoblinEnters":
Credo di aver capito ciò che intendevi, Silente, scusa per la puntualizzazione fuori luogo.

Però se non ti metti tra i numeri positivi l'implicazione $A_n\Rightarrow A_{n+1}$ è VERA
(e si dimostra come fa il C.R.)

edit: si PUO' dimostrare come fa il C.R. - Un altro modo di farlo è notare che l'implicazione è sempre vera dato che $A_n$ è falsa per ogni $n$


Quanto dici mi affascina (anche se su due piedi non riesco a convincermi che possa essere vero).
Se ho inteso tu affermi che $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$ è sempre vera perché l’antecedente è sempre falso (ci sarebbe $A_1$ vera ma qui è inessenziale).
Una implicazione (materialmente) vera è servibile anche nel caso in cui l’ipotesi sia sempre falsa?
Ciao

ViciousGoblin
Caro Silente, scusa se rispondo forse troppo in fretta senza aver riflettuto bene sul tuo punto di vista.

Ti ripeto che se $A_n$ fosse:

"dati $a$ e $b$ interi relativi con $\max(a,b)=n$, allora $a=b$"

allora l'implicazione "$A_n\Rightarrow A_{n+1}$ sarebbe vera.

Infatti presi $a$ e $b$ interi relativi con $\max(a,b)=n+1$, si ha che $a-1$ e $b-1$ sono interi
relativi e $\max(a-1,b-1)=n$, dunque se fosse vera $A_n$ ne seguirebbe $a-1=b-1$ e quindi
$a=b$.

Ti faccio un altro esempio, collegato con l'ultima questione (che ho messo un po' provocatoriamente, ma che, ti assicuro, è giusta)

Prendiamo

$P_n=$"$2n+1$ è pari".

Dico che per ogni intero $n$ vale $P_n\Rightarrow P_{n+1}$.
Infatti se $2n+1$ è pari allora esiste $k$ intero tale che $2n+1=2k$. Ma allora $2(n+1)+1=(2n+1)+2=2k+2=2(k+1)$
e quindi $2(n+1)+1$ è pari, cioè vale $P_{n+1}$.
Tutto questo nonostante $P_n$ sia falsa per ogni $n$.

Anzi il fatto che $P_n$ sia falsa rende automatica l'implicazione. Ricordo che $P\Leftarrow Q$ è lo stesso che $("non"-P)\vee Q$ e quindi se $P$ è falsa l'implicazione è vera -
da questo peraltro non otterrai mai nulla. L'implicazione $P\Rightarrow Q$ non viene mai usata da sola.

pippo931
"silente":

La dimostrazione del C.R. garantisce che
tutte le volte che è vero $A_r$ e "che $\alpha=a-1$ e $beta=b-1$" è vero anche $A_(r+1)$.
Quanto ho sottolineato è una ipotesi restrittiva che non ci permette la verifica di tutti i casi.
...
Porre $\alpha=a-1$ e $beta=b-1$ equivale a imporre $a=b$ (si dovrebbe dimostrare per induzione con $A_1$ vera). In questo modo si verifica l'unica proposizione in cui $a=b=n$ e si omette di verificare la verità della implicazione $A_r$ $\to$ $A_(r+1)$ per 2n-2 proposizioni, pertanto l’implicazione $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$ non è dimostrata.



era questo che volevo dire, ma che forse le mie scarse abilità comunicative non mi hanno permesso di farlo al meglio.

Ti ripeto che se $A_n$ fosse:

"dati a e b interi relativi con $max(a,b)=n$, allora $a=b$"

allora l'implicazione "$A_n⇒A_n+1$ sarebbe vera.


e questo che non capisco, secondo me sarebbe vera con una precisazione:

"dati a e b interi relativi con $max(a,b)=n$, allora $a=b$
e dati due interi relativi c e d tali che $c=a+1$ e $ d=b+1$ con $max(c,d)=n+1$ allora $c=d$
allora l'implicazione "$A_n⇒A_n+1$ sarebbe vera.

silente1
"ViciousGoblinEnters":
Caro Silente, scusa se rispondo forse troppo in fretta senza aver riflettuto bene sul tuo punto di vista.

Ti ripeto che se $A_n$ fosse:

"dati $a$ e $b$ interi relativi con $\max(a,b)=n$, allora $a=b$"

allora l'implicazione "$A_n\Rightarrow A_{n+1}$ sarebbe vera.

Infatti presi $a$ e $b$ interi relativi con $\max(a,b)=n+1$, si ha che $a-1$ e $b-1$ sono interi
relativi e $\max(a-1,b-1)=n$, dunque se fosse vera $A_n$ ne seguirebbe $a-1=b-1$ e quindi
$a=b$.

Asserire $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$
significa impegnarsi a dimostrare anche che, ad esempio, $A_12rArrA_13$

Considera la proposizione vera $max(12,12)=12 rArr 12=12$ (che non è affatto $A_12$ ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale $AAa,AAbAA,c$ $A_12$ è vera)
e dimmi come fai a dedurne che
$max(6,13)=13 rArr 6=13$ (che non è affatto $A_13$ ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale $AAa,AAbAA,c$ $A_13$ è vera)
Perché sia $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$ deve essere vera anche questa.

@ Pippo
Forse ci accomuna una postura mentale affine ma a me la tua spiegazione è sembrata chiara.

pippo931
comunque, il problema si potrebbe porre anche in questo modo:

supponiamo vera la $A_n$ che dice "se $max(a,b)=n$ allora $a=b$

ora, per condurci alla $A_(n+1)$ consideriamo i numeri $alpha=a+1$ e $beta=b+1$, quindi la $A_(n+1)$ dice: se $max(alpha,beta)=n+1$ allora $alpha=beta$

Restando nell'ambito dei naturali, è ovvia la veridicità di $A_1$ e anche quella di $A_n to A_(n+1)$ , quindi la dimostrazione dovrebbe essere conclusa, ma è evidente che non è così per la considerazione particolare di $alpha$ e $beta$

adaBTTLS1
"silente":
Per applicare l’induzione si deve dimostrare che tutte le volte che è vero $A_r$ è vero anche $A_(r+1)$.

scusate se mi intrometto così nella discussione.
il principio d'induzione serve, su questo penso che siamo d'accordo tutti, a dimostrare infinite cose con un numero finito di passaggi.
detto così (vedi citazione) non sembra però tanto banale questa precisazione.
casomai bisogna dimostrare che una certa cosa vale per un certo valore iniziale e che "se è vero un generico $A_r$ allora è vero $A_(r+1)$"; le due cose insieme ci garantiscono che è vero per ogni $A_i$ a partire da quello iniziale.

scusate ancora l'intromissione, perché non ce l'ho fatta a seguire l'intera discussione, però non ho resististo, vedendo che la discussione va avanti, a far notare questa frase: se ho interpretato male io, mi scuso ancora; se, come me, anche altri potrebbero aver interpretato la stessa in maniera distorta, spero di aver contribuito alla chiarezza.
ciao.

ViciousGoblin
Rispondo ad alcune delle questioni poste nei messaggi che si sono susseguiti - probabilmente saranno necessarie altre precisazioni.

Una premessa. Mi rendo bene conto della "comunanza" tra silente e pippo93 e non è la prima volta che mi trovo "dall'altra parte".
La cosa che, vi garantisco, mi spiace di più è la "distanza" nel seguire i vostri ragionamenti. Purtroppo faccio matematica da molti anni e mi
spaventa sempre di più constatare di non riuscire più "mettermi nei panni" dell'appassionato che comincia (probabilmente anch'io avrei sollevato le vostre obiezioni ai miei tempi).
Perdonatemi quindi se non riesco (come invece vorrei) a individuare il punto esatto in cui non ci troviamo d'accordo. Spero comunque di riuscire a essere utile. FINE NOTA AUTOCOMMISERATIVA. :cry:

Rispondo a Silente


Asserire Ar ⇒ Ar+1
significa impegnarsi a dimostrare anche che, ad esempio, A12⇒A13

Considera la proposizione vera max(12,12)=12⇒12=12 (che non è affatto A12 ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale ∀a,∀b∀,c A12 è vera)
e dimmi come fai a dedurne che
max(6,13)=13⇒6=13 (che non è affatto A13 ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale ∀a,∀b∀,c A13 è vera)
Perché sia Ar ⇒ Ar+1 deve essere vera anche questa.

Chiama $P(a,b,n)$ la proposizione "$\max(a,b)=n\Rightarrow a=b$.
Dimostrare che "$\forall a,b P(a,b,12)$"$\Rightarrow$ "$\forall a,b P(a,b,13)$"
è una cosa ben diversa da
"$\forall a,b ( P(a,b,12)\Rightarrow P(a,b,13) )$"
(sempre se capisco l'argomento di silente)

rispondo a Pippo93

Il tuo modo di procedere per dimostrare che $A_n$ implica $A_{n+1}$ non è corretto (indipendentemente poi da verita' e falsita' del tutto)
Cercando di formalizzare tu hai:
IPOTESI per ogni $a$ e $b$ interi con $\max(a,b)=n$ si ha $a=b$
TESI per ogni $a$ e $b$ interi con $\max(a,b)=n+1$ si ha $a=b$

Come faccio a dimostrare che l'ipotesi implica la tesi? devo cercare di dimostrare che la tesi è vera, usando l'ipotesi come premessa.
Allora se voglio dimostrare la tesi devo partire da una qualunque coppia di interi $a$ e $b$ tali che $\max(a,b)=n+1$ e ottenere
che $a=b$ (è di QUESTE coppie che parla la tesi, non di quelle con $\max(a,b)=n$.) A questo punto tolgo uno ad $a$ e $b$ e faccio
come C.R. per potere applicare l'ipotesi.

edit

Non posso fare a meno di aggiungere qualcosa anche ad adaBTTLS :D

Hai ragione in quanto dici sul principio di induzione. Il punto (sollevato dal Cournat_Robbins) è proprio che perchè l'induzione marci
sono necessari sia il passo zero (o uno ) sia il passo induttivo, e che il passo induttivo è una questione delicata da capire.
In particolare è possibile che il passo induttivo sia vero senza che la proposizione da dimostrare sia vera per nessun $n$, o che (caso
del problema iniziale) il passo induttivo possa sembrare vero a un'analisi superficiale ma non lo sia in realta'.



Riformulo per tutti il "teorema" del C.R. in una versione insiemistica. Di solito (nella mia esperienza) questa "dimostrazione" sembra naturale...e quindi "shocking".

TESI. Tutti gli insiemi finiti hanno lo stesso numero di elementi.
DIMOSTRAZIONE. Indichiamo con $#A$ il numero di elementi di $A$ (la "cardinalità" di $A$). Dato $n$ intero consideriamo la proposizione

$P(n)=$ "se $#A\leq n$ e $#B\leq n$ allora $#A=#B""

Dimostriamo per induzione che $P(n)$ vale per ogni $n$. Se ci riusciamo abbiamo dimostrato la TESI.

1) $P(1)$ vale - infatti se due insiemi hanno un elemento allora hanno lo stesso numero di elementi
2) $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ Prendiamo due insiemi $A$ e $B$ che abbiano al massimo $n+1$ elementi. Se togliamo un elemento ad $A$ e un elemento a $B$
otteniamo due insiemi $A'$ e $B'$ che hanno al più $n$ elementi - dunque per l'ipotesi induttiva $P(n)$ $A'$ e $B'$ hanno lo stesso numero di elementi. Ne segue che pure
$A$ e $B$ devono avere lo stesso numero di elementi. Quindi $P(n+1)$ vale se si assume $P(n)$

???????


ULTERIORE EDIT ho corretto mettendo "per ogni $a,b$ al posto di "per ogni $x$" nella risposta a silente

G.D.5
Premessa importantissima: se domani andassi a fare l'esame di Logica Matematica il Professore, facendo appello a tutta la sua buona volontà, mi rimanderebbe a casa a calci nel sedere lanciandomi strali di maledizioni per i prossimi mille anni.

Fatta questa premesse vorrei spendere due parole sulla questione dell'implicazione sulla questione della deduzione.

A mio avviso l'errore che commettono silenete e pippo93 è quello di distinguere tra implicazione materiale e implicazione non materiale, accomunando la prima all'idea della deduzione: in pratica, per voi, se ho ben capito, esiste l'implicazione $to$ la quale è un connettivo logico, ed esiste l'implicazione materiale $=>$ che lega da un punto di vista logico l'enunciato a sinistra (antecedente o ipotesi) con l'enunciato a destra (conseguente o tesi), i.e. usare questa implicazione significa che ogni volta che l'antecedente è vero lo è anche il conseguente.

Bene: errorino.
All'Università e, più in generale nell'ambiente accademico, non sentirete parlare di implicazioni di una specie o di un'altra e non sentire questi usi e abusi di uno stesso simbolo.
L'ottica in cui si pone Vicious (posso chiamarti così?) è esattamente quella accademica, e, a mio modesto parere, quella più corretta.

Il simbolo di implicazione (di seguito $=>$) altro non è che un connettivo logico e, come tale, serve solo per costruire un nuovo enunciato (che dicesi composto) a partire da due enunciati elementari (detti anche atomici).
Tale enuciato è definito dalla tavola di verità che assegna $F$ (falsità) se e solo se l'antecedente è vero e il conseguente è falso, e assegna $V$ negli altri casi.

La deduzione è invece un'altra cosa: si dice che l'enunciato $Y$ è conseguenza logica degli enunciati $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n$ se non si da mai il caso che, stando la verità di ciascun $X_i$, si possa avere la falsità di $Y$. Per indicare che $Y$ è conseguenza logica degli $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n$ si usa un simbolo particolare, che mi pare essere $|=$ (o qualche cosa di molto simile). A questo punto subentrano le deduzioni. Si chiamano regole di deduzione quelle regole logiche che permettono di affermare le verità di conclusione dalla vertià delle premesse. Notate che fino ad ora non ho parlato di implicazioni.
Le regole di deduzione valide sono le tautologie.
Una delle tautologie più comuni è il modus ponens: $(A ^^^ [A => B]) => (B)$, si può provare che questa implicazione è una tautologia.
Che sia una tautologia comporta che, se in un problema mi chiedono di provare che è vera la tesi $B$ partendo dal fatto che è vera l'ipotesi $A$, allora io dovrò provare che è vera l'implicazione $A => B$: la cosa può sembrare strana perché pare che si gira intorno, ma è proprio in questo apparente girarci intorno che costituisce la differenza tra deduzione e implicazione. La deduzione è quella regola che mi permette di dire alla fine "$B$ è vera", l'implicazione è il mezzo formale che uso per farlo.

Detto questo, prendiamo un predicato composto (parlo di predicato perché stiamo considerando delle frasi che contengono la variabile logica $x$ quantificata da $\forall$ e $\exists$) $A(x) => B(x)$. Se sappiamo che $A(x)$ è sempre falsa, allora non c'è nessuna deduzione da fare, semplicemente perché le ipotesi da cui muoviamo sono false e le regole di deduzione parlano di premesse vere da cui dedurre la verità.

Tutto questo mette anche in evidenza la differenza tra correttezza di una deduzione e verità di una deduzione: la regola $(A ^^^ [A => B]) => (B)$ è corretta, ma questo non significa che se si prova la verità di $A => B$ si ha necessariamente la verità di $B$.

Spero di non avere detto tropppe scemenze e di non avere confuso ulteriormente le idee.

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