Dubbio su un quesito del Courant & Robbins
Salve a tutti, apro un post per avere una conferma :
a pagina 57 del libro "Che cos'è la matematica?" viene proposto di trovare l'errore in una dimostrazione che sfrutta il principio di induzione.
Per chi non avesse il libro ma capisse l'inglese trova tutto questo alla pagina 20 di questo e-book
http://books.google.it/books?id=_kYBqLc ... A#PPA20,M1
Secondo me l'errore consiste nella considerazione dei numeri $alpha$ e $beta$ rispettivamente come $a-1$ e $b-1$, infatti per passare dalla proposizione $A_(r+1)$ alla $A_r$ non bisogna necessariamente ridurre $a$ e $b$ solo di $1$, uno di essi può essere diminuito anche di più e in questo caso il ragionamento crollerebbe.
Quello che ho scritto è giusto?
a pagina 57 del libro "Che cos'è la matematica?" viene proposto di trovare l'errore in una dimostrazione che sfrutta il principio di induzione.
Per chi non avesse il libro ma capisse l'inglese trova tutto questo alla pagina 20 di questo e-book
http://books.google.it/books?id=_kYBqLc ... A#PPA20,M1
Secondo me l'errore consiste nella considerazione dei numeri $alpha$ e $beta$ rispettivamente come $a-1$ e $b-1$, infatti per passare dalla proposizione $A_(r+1)$ alla $A_r$ non bisogna necessariamente ridurre $a$ e $b$ solo di $1$, uno di essi può essere diminuito anche di più e in questo caso il ragionamento crollerebbe.
Quello che ho scritto è giusto?
Risposte
"ViciousGoblinEnters":
Un ultimo commento a proposito dell'argomento di silente: secondo te se dimostro $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ ne posso ricavare
che $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$ ???
si, ma secondo me questo non vuol dire che $P_13(13,6)$ sia vera perché la premessa $P_12(12,12)$ è verificata con una sola coppia di numeri, infatti $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ dice che se $P_12(a,b)$ è vera SEMPRE allora è vera $P_13(a,b)$. Siccome $P_12(a,b)$ non è vera sempre, ma solo per $a=b=12$, non è detto che $forall a,b P_13(a,b)$ sia vera.
Sei d'accordo?
"pippo93":
[quote="ViciousGoblinEnters"]
Un ultimo commento a proposito dell'argomento di silente: secondo te se dimostro $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ ne posso ricavare
che $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$ ???
si, ma secondo me questo non vuol dire che $P_13(13,6)$ sia vera perché la premessa $P_12(12,12)$ è verificata con una sola coppia di numeri, infatti $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ dice che se $P_12(a,b)$ è vera SEMPRE allora è vera $P_13(a,b)$. Siccome $P_12(a,b)$ non è vera sempre, ma solo per $a=b=12$, non è detto che $forall a,b P_13(a,b)$ sia vera.
Sei d'accordo?[/quote]
Risposta breve NO - non sono d'accordo (sul sì - tutto quello che dici dopo sembra giusto ma contrasta con quel sì iniziale).
Il fatto che $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ sia vero non implica assolutamente che $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$.
La proposizione $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ dice che se so che è vera $P_{12}(a,b)$ in TUTTI gli $a,b$ posso dedurne che vale $P_{13}(a,b)$ in tutti gli $a,b$.
Se questo è vero NON POSSO ricavare nulla dalla conoscenza di una SINGOLA coppia (per esempio $12,12$). Una cosa che posso ovviamente ricavare è che
$(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow "P_13(6,13)$ ma non quella di prima.
Provo a farti un esempio stupido, in cui si dovrebbe vedere la differenza. Metti che $a_1,a_2$ siano due numeri. E' sicuramente vero che
$(\forall i " " a_i\geq 1)\Rightarrow (\forall i " " a_i\geq 1)$ (se $a_1$ e $a_2$ sono entrambi maggiori di uno allora sono entrambi maggiori di uno ).
Il fatto che tale implicazione sia vera NON DICE nulla sui singoli $a_1,a_2$, per esempio non può dirti che $(a_1\geq 1)\Rightarrow (a_2\geq1)$. Infatti
$a_1=1$ e $a_2=0$ verifica $(\forall i " " a_i\geq 1)\Rightarrow (\forall i " " a_i\geq 1)$ ma non verifica $(a_1\geq 1)\Rightarrow (a_2\geq1)$.
"ViciousGoblinEnters":
[quote="pippo93"][quote="ViciousGoblinEnters"]
Un ultimo commento a proposito dell'argomento di silente: secondo te se dimostro $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ ne posso ricavare
che $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$ ???
si, ma secondo me questo non vuol dire che $P_13(13,6)$ sia vera perché la premessa $P_12(12,12)$ è verificata con una sola coppia di numeri, infatti $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ dice che se $P_12(a,b)$ è vera SEMPRE allora è vera $P_13(a,b)$. Siccome $P_12(a,b)$ non è vera sempre, ma solo per $a=b=12$, non è detto che $forall a,b P_13(a,b)$ sia vera.
Sei d'accordo?[/quote]
Risposta breve NO - non sono d'accordo (sul sì - tutto quello che dici dopo sembra giusto ma contrasta con quel sì iniziale).
Il fatto che $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ sia vero non implica assolutamente che $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$.
La proposizione $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ dice che se so che è vera $P_{12}(a,b)$ in TUTTI gli $a,b$ posso dedurne che vale $P_{13}(a,b)$ in tutti gli $a,b$.
Se questo è vero NON POSSO ricavare nulla dalla conoscenza di una SINGOLA coppia (per esempio $12,12$). Una cosa che posso ovviamente ricavare è che
$(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow "P_13(6,13)$ ma non quella di prima.
Provo a farti un esempio stupido, in cui si dovrebbe vedere la differenza. Metti che $a_1,a_2$ siano due numeri. E' sicuramente vero che
$(\forall i " " a_i\geq 1)\Rightarrow (\forall i " " a_i\geq 1)$ (se $a_1$ e $a_2$ sono entrambi maggiori di uno allora sono entrambi maggiori di uno ).
Il fatto che tale implicazione sia vera NON DICE nulla sui singoli $a_1,a_2$, per esempio non può dirti che $(a_1\geq 1)\Rightarrow (a_2\geq1)$. Infatti
$a_1=1$ e $a_2=0$ verifica $(\forall i " " a_i\geq 1)\Rightarrow (\forall i " " a_i\geq 1)$ ma non verifica $(a_1\geq 1)\Rightarrow (a_2\geq1)$.[/quote]
vediamo se ho capito... tu dici che supponendo vera $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ non possiamo dedurne $P_12(12,12) rArr P_13(13,6)$ perché la premessa di quest'ultima tratta una sola coppia e quindi non può essere applicata alla premessa della prima che invece tratta tutte le coppie(e quindi non possiamo sapere neanche se sia vera o falsa). Questo mi sembra abbastanza chiaro, o almeno spero...
Perché da $P_12(12,12) rArr P_13(13,6)$ posso dedurre $(∀a,bP12(a,b))⇒P13(6,13)$ ?
vediamo se ho capito... tu dici che supponendo vera (∀a,bP12(a,b))⇒(∀a,bP13(a,b)) non possiamo dedurne P12(12,12)⇒P13(13,6) perché la premessa di quest'ultima tratta una sola coppia e quindi non può essere applicata alla premessa della prima che invece tratta tutte le coppie(e quindi non possiamo sapere neanche se sia vera o falsa). Questo mi sembra abbastanza chiaro, o almeno spero...
da come lo dici non sono sicuro che tu abbia colto lo spirito, che per la verità è semplicissimo. Io avrei detto così:
"perché la premessa di quest'ultima tratta una sola coppia e quindi non può essere utilizzata per ricavare la premessa della prima che invece tratta tutte le coppie"
A furia di pensarci forse ho trovato un esempio semplice che potrebbe chiarificare il tutto.
In un liceo la preside fa questa concessione a una classe $C$, particolarmente turbolenta..., (si parla dell'ultimo anno, quindi la cosa non ti riguarda
) : "se alla data XX tutti gli alunni saranno maggiorenni allora autorizzerò la gita"
Allora se la variabile $a$ varia tra gli alunni di $C$ abbiamo indichiamo:
$M(a)=$ "$a$ è maggiorenne", $G(a) =$ "$a$ può andare in gita"
L'enunciato della preside si formalizza proprio con
(1) "($\forall a" " M(a))\Rightarrow(\forall a" " G(a))$"
Infatti dire che la classe può andare in gita equivale a dire che ogni alunno è autorizzato a farlo e quindi si esprime con $(\forall a" " G(a))$ - d'altra parte perchéla
concessione scatti bisogna che OGNI alunno sia maggiorenne cioè $(\forall a" " G(a))$ - nota che la regola posta non esclude che ci siano altre condizioni che permettano
alla classe di andare in gita, magari se si comportano bene nei mesi antecedenti ...(quindi non c'è un "se e solo se"), quello che sappiamo per certo è che SE tutti
saranno maggiorenni, allora tutti potranno andare in gita.
Nota che la preside NON ha concesso (2) $\forall a" "(M(a)\Rightarrow G(a))$, non ha detto cioè "chi è maggiorenne può andare in gita" ma ha chiesto che TUTTI lo siano
per sbloccare l'autorizzazione. Questo mi pare mostri che le (1) e (2) dicono cose diverse, come cercavo di spiegare in vari messaggi passati.
Quindi dal sapere la (1) non posso dedurre nè la (2), nè
(3) "se Mario è maggiorenne, allora Mario può andare in gita"
nè tantomeno
(4) "se Mario è maggiorenne, allora Luigi può andare in gita"
(dove Mario e Luigi sono alunni di $C$). Mi sembra che su questo dovresti concordare o no?
Se concordi ti faccio notare che la (4) è proprio del tipo $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$
Perché da P12(12,12)⇒P13(13,6) posso dedurre (∀a,bP12(a,b))⇒P13(6,13) ?
Scusa forse sono stato troppo ellittico - io intedevo che da $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow(\forall a,b" "P_{13}(a,b))$ si deduce
$(\forall a,b" "P_12(a,b))\RightarrowP_{13}(13,6)$
in altre parole "se tutti sono maggiorenni, allora Mario può andare in gita"
Premessa 1: Non sono del tutto sicuro di aver seguito il ragionamento di Pippo perché nei suoi post ho dei problemi a leggere le formule.
Premessa 2: Non capisco perché Vicious ritenga il dubbio di Pippo diverso dal mio; a me pare lo stesso (magari ha origini diverse. E’ probabile che il rifiuto di Pippo ad ammettere come vera questa ultima affermazione dipenda dal fatto ché evidentemente è falsa. )e Vicious direi che lo ha inteso bene.
Mi sembra che Pippo rifiuti di accettare a pieno l’ipotesi* $max(a,b)=nrArra=b$ ma si limiti ad accettarla per quelle coppie che la rendono vera. In questo caso per Pippo $max(5,12)=nrArr5=12$ è falsa.
$max(5,12)=nrArr5=12$ invece deve essere accettarla per vera poiché è la nostra ipotesi. Per questo motivo non accoglie $P_13(6,13)$ come vera: non può dedurla da $max(5,12)=nrArr5=12$ in quanto questa non è una sua ipotesi.
Un poco OT:
in una implicazione del tipo $Ipotesi$ $rArr$ $Tesi$ bisogna distinguere tra:
$i) $ La verità dell’implicazione
$ii) $La verità della tesi
Faccio esempio:
$i)$ Se Pippo è residente a Parigi allora Pippo è francese – (questa è una implicazione vera ma la tesi è falsa)
$ii) $ Se Pippo è residente a Parigi allora Pippo è italiano – (questa è una implicazione falsa ma la tesi è vera)
Sembra che nell’ipotesi $max(a,b)=nrArra=b$ tu le pretenda entrambe cioè che sia vera l’implicazione e che sia vera anche la tesi $a=b$
Per l’induzione ci interessa che sia verificata la $i)$ e dunque che sia valido il nesso $max(a,b)=nrArra=b$
*Credo che qui ci sia un rifiuto di Pippo ad ammettere come vera l'ipotesi perché(quantificata universalmente) è evidentemente è falsa.
questo rifiuto porta all’abbandono della dimostrazione per induzione ed è chiaro che con questo rifiuto la tua dimostrazione diventa deduttiva ed è normale (anzi necessario) che debba fallire.
@silente
Sono contento del tuo intervento che aggiunge un altro attore a un discorso che si sta avvitando su se stesso -- e poi se me li spieghi tu i tuoi
dubbi forse capisco meglio che se me li spiega pippo93.
Se devo dire la verità contunua a sfuggirmi il punto esatto di dissenso. Più volte credevo di averlo capito ma poi i discorsi successivi
mi hanno fatto ripiombare nella nebbia. In parte devo aver contribuito anch'io a creare confusione con la questione della posizione dei "per ogni" che in
questo momento non mi sembra più la questione rilevante.
Se dovessi dire, in questo momento mi pare che il problema di pippo93 sia proprio nel distinquere la verità dell'implicazione dalla verità della conclusione
tutt'altro OT, quindi (ma aspetto sue reazioni al mio ultimo esempio).
Tornando a te invece non sono più sicuro di avere capito come mai presumevi che da $A_{12}\Rightarrow A_{13}$ si dovesse dedurre
$P_{12}(12,12)\Rightarrow P_{13}(6,13)$ ($P_r(a,b)$ è quella dei messaggi precedenti).
Anche riguardo al tuo ultimo post temo di non comprendere bene il significato di "accettare l'ipotesi solo per le coppie che la rendono vera" - forse però, se mi
spieghi il punto precedente capisco anche questo.
Sempre se hai voglia
EDIT
Credo che in tutta la questione pesi il fatto che l'implicazione da dimostrare contiene a sua volta delle implicazioni come premessa e conclusione.
La comprensione di questa "implicazione di implicazioni" può risultare effettivamente oscura. Mi sarebbe piaciuto avere dei feedback sulla versione
"tutti gli insiemi hanno lo steso numero di elementi" , proposta qualche post fa, in cui il passo induttivo mi sembrava più intuitivo.
Sono contento del tuo intervento che aggiunge un altro attore a un discorso che si sta avvitando su se stesso -- e poi se me li spieghi tu i tuoi
dubbi forse capisco meglio che se me li spiega pippo93.
Se devo dire la verità contunua a sfuggirmi il punto esatto di dissenso. Più volte credevo di averlo capito ma poi i discorsi successivi
mi hanno fatto ripiombare nella nebbia. In parte devo aver contribuito anch'io a creare confusione con la questione della posizione dei "per ogni" che in
questo momento non mi sembra più la questione rilevante.
Se dovessi dire, in questo momento mi pare che il problema di pippo93 sia proprio nel distinquere la verità dell'implicazione dalla verità della conclusione
tutt'altro OT, quindi (ma aspetto sue reazioni al mio ultimo esempio).
Tornando a te invece non sono più sicuro di avere capito come mai presumevi che da $A_{12}\Rightarrow A_{13}$ si dovesse dedurre
$P_{12}(12,12)\Rightarrow P_{13}(6,13)$ ($P_r(a,b)$ è quella dei messaggi precedenti).
Anche riguardo al tuo ultimo post temo di non comprendere bene il significato di "accettare l'ipotesi solo per le coppie che la rendono vera" - forse però, se mi
spieghi il punto precedente capisco anche questo.
Sempre se hai voglia
EDIT
Credo che in tutta la questione pesi il fatto che l'implicazione da dimostrare contiene a sua volta delle implicazioni come premessa e conclusione.
La comprensione di questa "implicazione di implicazioni" può risultare effettivamente oscura. Mi sarebbe piaciuto avere dei feedback sulla versione
"tutti gli insiemi hanno lo steso numero di elementi" , proposta qualche post fa, in cui il passo induttivo mi sembrava più intuitivo.
"ViciousGoblinEnters":
vediamo se ho capito... tu dici che supponendo vera (∀a,bP12(a,b))⇒(∀a,bP13(a,b)) non possiamo dedurne P12(12,12)⇒P13(13,6) perché la premessa di quest'ultima tratta una sola coppia e quindi non può essere applicata alla premessa della prima che invece tratta tutte le coppie(e quindi non possiamo sapere neanche se sia vera o falsa). Questo mi sembra abbastanza chiaro, o almeno spero...
da come lo dici non sono sicuro che tu abbia colto lo spirito, che per la verità è semplicissimo. Io avrei detto così:
"perché la premessa di quest'ultima tratta una sola coppia e quindi non può essere utilizzata per ricavare la premessa della prima che invece tratta tutte le coppie"
mi sembra che la sostanza delle due sintesi sia la stessa, forse le mie scarse capacità comunicative non ti hanno fatto capire ciò che intendevo...ma intendevo quello che hai scritto tu.
Scusa forse sono stato troppo ellittico - io intedevo che da (∀a,bP12(a,b))⇒(∀a,bP13(a,b)) si deducescusa... avevo capito male. Ma ora ho capito pienamente questa parte, non che ci volesse molto
(∀a,bP12(a,b))⇒P13(13,6)
ma devo ancora imparare a capire le cose nel verso giusto 
Comunque, grazie all'ultimo esempio di ViciousGoblinEnters mi sembra d'aver capito che la differenza tra $(forall x P(x))rArr(forall x P(y))$ e $forall x (P(x) rArr Q(x))$ sta nel fatto che la prima dichiara la validità di $Q(x)$ per tutte le $x$ con la supposta validità di $P(x)$ per tutte le $x$. La seconda si limita a affermare che per qualsiasi $x$ se è vera $P(x)$ è vera anche $Q(x)$, il fatto è che la prima non ci permette di applicare l'induzione, ma la seconda si.
Cerco di chiarire quale fosse la mia contestazione in origine (poi si sono sviluppati altri dubbi per fortuna):
il fatto era che non ero d'accordo sul fatto che il C.R. dichiarasse $alpha=a-1$ e $beta=b-1$ perché a e b erano uguali per ipotesi e quindi sembrava scontato che $alpha=beta$, in poche parole contestavo le coppie di numeri utilizzate per la dimostrazione. In effetti se il C.R. l'avesse "dimostrato" così: prendiamo per buona $max(a,b)=n rArr a=b$ poi prendiamo $alpha=a+1$ e $beta=b+1$ ed è ovvio che $(max(a,b)=n rArr a=b)rArr(max(alpha,beta)=n+1 rArr aplha=beta)$ ma questo non è un passo induttivo convincente per la scelta restrittiva di $aplha$ e $beta$. D'altronde se lo fosse il caso base sarebbe vero e il teorema sarebbe dimostrato.
Il fatto è che il C.R. procede in un altro modo: prende per buona $max(a,b)=n rArr a=b$ e poi considerando $max(a,b)=n+1 rArr a=b$ ragiona a ritroso e pone $apha = a-1$ e $beta=b-1$. Ottenendo $max(alpha,beta)=n+1 rArr alpha=beta$. Ora, la scelta delle coppie qui non è restrittiva perché se è vera per ipotesi $max(a,b)=n rArr a=b$ con OGNI $a$ e $b$ quindi partendo da $max(a,b)=n+1 rArr a=b$ (che è la tesi) le coppie $alpha,beta$ sono sufficienti perché rappresentano tutte le coppie che rendono vera $max(a,b)=n rArr a=b$ (per ipotesi).
Nell'altra dimostrazione fasulla (che inizia con: "In effetti se il C.R. l'avesse "dimostrato" così:")non ci possiamo ricondurre all'ipotesi ma solo a una scelta di $alpha$ e $beta$ per questo non funziona.
Ora, spero di non aver scritto scempiaggini, e, anche se ho evitato l'uso ricorrente di "Giusto?", "No?", "E' esatto?", non esitate a correggermi
"ViciousGoblinEnters":
@silente
Sono contento del tuo intervento che aggiunge un altro attore a un discorso che si sta avvitando su se stesso -- e poi se me li spieghi tu i tuoi
dubbi forse capisco meglio che se me li spiega pippo93.
Premessa: mi ero sottratto alla discussione perché:
1) Supponendo che il problema per me fosse risolto ho ritenuto opportuno che fossero altri a chiarire i dubbi di Pippo visto che le indicazioni che avrei potuto dare io possono essere con notevole probabilità mal esposte o addirittura sbagliate. Direi che è stata decisione saggia.
2)Non riuscendo a leggere le formule di Pippo (anche se credo di interpretarle con ciò che vedo) sono stato cauto
comunque se sono di qualche utilità partecipo volentieri e ti ringrazio della tua disponibilità.
"ViciousGoblinEnters":
@silente
Tornando a te invece non sono più sicuro di avere capito come mai presumevi che da $A_{12}\Rightarrow A_{13})$ si dovesse dedurre
$P_{12}(12,12)\Rightarrow P_{13}(6,13)$ ($P_r(a,b)$ è quella dei messaggi precedenti).
Anche riguardo al tuo ultimo post temo di non comprendere bene il significato di "accettare l'ipotesi solo per le coppie che la rendono vera" - forse però, se mi
spieghi il punto precedente capisco anche questo.
Sempre se hai voglia
Premessa 2:
Direi di aver fatto anche ultimamente confuzione (ho proprio frainteso il problema) intendendolo come $AAn(AAa,bP_nrArr AAc,dP_{n+1})$ (auspicando che il simbolismo sia aderente all'idea)
Forse non è un male. E' possibile che agevoli la spiegazione del problema.
Si parte da una implicazione del tipo:
$max(a,b)=nrArra=b$
quando si sostituiscono alle variabili $a,b$ dei valori particolari si possono avere
$1)$ $max(6,6)=6rArr6=6$ in cui l'implicazione è vera e la tesi $a=b$ è vera
$2)$ $max(4,6)=5rArr4=6$ in cui l'implicazione è vera poiché è falso l'antecendente $max(4,6)=5$ e la tesi è falsa
$3)$ $max(4,6)=6rArr4=6$ in cui l'implicazione è falsa poiché è vero l'antecendente $max(4,6)=5$ e la tesi $4=6$è falsa
$4)$ $max(4,6)=5rArr4=6$ in cui l'implicazione è vera poiché è falso l'antecendente $max(4,6)=5$ e la tesi $4=6$è falsa
Ecco quello che probabilmente è stato il ragionamento:
Si dimostri il passo induttivo.
Come si fa?
si prova che $A_nrArrA_(n+1)$
Come si prova $A_nrArrA_(n+1)$?
Si deve verificare che tutte le volte che è vera $A_n$ è vera anche $A_(n+1)$
Quando è che è vera $A_n$?
nel solo caso $1)$ (questo è l'errore secondo me)
Limitandoci alla $1)$ il dominio della relazione divente costituito dalle sole coppie $(1,1);(2,2);....;(n,n)$
in questo modo non si può dedurre $max(6,13)=13rArr6=13$ da $P_12$ poichè $(5,12)$ non è accolta come vera nonostante lo imponga l'ipotesi.
Questo almeno era il mio dubbio che suppongo coincida con quello di Pippo.
Ne mio caso sono partito col piede giusto intendendo dimostrare $AAn(P_nrArrP_(n+1)$.
Poi, notando che l'antecedente è una proposizione solitamente falsa mi è venuto un dubbio che avevo svelato già nel mio primo (credo) post:
L'induzione è servibile nel caso in cui il nesso $AAn(P_nrArrP_(n+1)$ sia valido perché ha una premessa sempre falsa.
Mi sono detto: GIAMMAI e direi che mi sono dato anche la risposta giusta (non accorgendomi, come ho già detto che in questo caso l'induzione non è applicabile perché non si trova $A_1$ vera.
Da questo, non è chiaro perché, ho malamente dedotto che nella implicazione $AAn(P_nrArrP_(n+1)$ la premessa debba essere vera.
Spero di aver chiarito qualcosa (oltre che di aver capito)
Scusate se spesso non solo i ragionamenti ma anche l'esposizione è nebulosa. Credete che non è per pigrizia. Un pò di sforzo lo mettiamo.
Grazie ancora.
EDIT: anche qui ho scritto dopo aver letto Pippo. Ciao.
Mi pare che ora sia tutto OK.
@silente
sei stato molto chiaro: mi pare di aver capito e di concordare in pieno sulla tua analisi.
@pippo93
mi sembra che quelo che dici vada bene - e comunque non vale la pena di insistere troppo; le cose si imparano usandole e spero che da questa discussione
tu abbia ricavato qualcosa. Giusto per avere l'ultima parola (
) correggo una tua frase:
la seconda proprietà è più FORTEdella prima : se sai che $P(x) \Rightarrow Q(x)$ $x$ per $x$, allora ne segue che la conoscenza di $P(x)$ per tutte le $x$
implica la validità della $Q(x)$ per tutte le $x$ . Invece può non essere vero il viceversa:
la regola "se tutti gli alunni sono maggiorenni allora tutti gli alunni possono andare in gita" non autorizza nessun alunno maggiorenne ad andare in gita
(singolarmente).
Comunque rifletti su queste cose senza troppa fretta
Ciao
sei stato molto chiaro: mi pare di aver capito e di concordare in pieno sulla tua analisi.
@pippo93
mi sembra che quelo che dici vada bene - e comunque non vale la pena di insistere troppo; le cose si imparano usandole e spero che da questa discussione
tu abbia ricavato qualcosa. Giusto per avere l'ultima parola (
) correggo una tua frase:
La seconda si limita a affermare che ...
la seconda proprietà è più FORTEdella prima : se sai che $P(x) \Rightarrow Q(x)$ $x$ per $x$, allora ne segue che la conoscenza di $P(x)$ per tutte le $x$
implica la validità della $Q(x)$ per tutte le $x$ . Invece può non essere vero il viceversa:
la regola "se tutti gli alunni sono maggiorenni allora tutti gli alunni possono andare in gita" non autorizza nessun alunno maggiorenne ad andare in gita
(singolarmente).
Comunque rifletti su queste cose senza troppa fretta
Ciao
"ViciousGoblinEnters":
@silente
sei stato molto chiaro: mi pare di aver capito e di concordare in pieno sulla tua analisi.
@pippo93
mi sembra che quelo che dici vada bene - e comunque non vale la pena di insistere troppo; le cose si imparano usandole e spero che da questa discussione
tu abbia ricavato qualcosa. Giusto per avere l'ultima parola (
La seconda si limita a affermare che ...
la seconda proprietà è più FORTEdella prima : se sai che $P(x) \Rightarrow Q(x)$ $x$ per $x$, allora ne segue che la conoscenza di $P(x)$ per tutte le $x$
implica la validità della $Q(x)$ per tutte le $x$ . Invece può non essere vero il viceversa:
la regola "se tutti gli alunni sono maggiorenni allora tutti gli alunni possono andare in gita" non autorizza nessun alunno maggiorenne ad andare in gita
(singolarmente).
Comunque rifletti su queste cose senza troppa fretta
Ciao
Ho capito, i miei dubbi sono stati per la maggior parte risolti. Quindi è doveroso da parte mia ringraziare tutti quelli che hanno scritto in questo topic e in modo particolare ViciousGoblinEnters che mi ha "aperto" su questi argomenti e Silente che è riuscito a sollevare dei dubbi la cui analisi, secondo me, permette una maggiore comprensione del problema. Grazie ancora!
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